对勾股定理及其逆定理教育价值的深层挖掘

勾股定理及其逆定理的证明与运用是中学数学最重要的内容之一，不仅有其作为知识的工具性价值，更有其中蕴涵的数学思想方法． 本文对此予以深层挖掘，希望能对教学有所帮助．

一、 勾股定理的证明策略及其分析

勾股定理的证明是数学史上最璀璨的一颗宝石．其方法之众、思路之妙，展现出数学构思的思辩美、哲理美与艺术美，让人叹服，发人深思． 中国古代数学家创立的“出入相补”证明法独领．然而，这些精巧的构图又是如何想到的呢？

如图1-1，是刘徽的构图方法：“构图”在思路上首先是“如何构建出a2，b2，c2”，而“一条线段的平方”的几何意义一种表现是“以该线段为边长的正方形的面积”.如此，为构建出“a2，b2，c2”，自然联想到分别“以a，b，c为边长构建正方形”； 然后是“如何把以a，b为边的两个正方形巧妙剪拼成以c为边的正方形”，并通过分析尝试，逐步调整与梳理，最终完善出“青朱出入图”. 由于在“以a，b，c为边长构建正方形”时下手的角度和思考的方向不同，导致不同的“割”与“补”的方法，才产生出许多的拼图方法．

如图1-2，是赵爽的“弦图”，虽然仍是想方设法地把“a2，b2，c2”转化成某些图形的面积，但与图１-1的“割”、“补”原理（即“以盈补虚”原理）有明显区别，图１-1的直观性更好（从中可以直接读出a2+b2=c2，可谓“无字证明”），而图1-２更偏重于后续的计算与推理（恒等变形）．

如能在教学中如此这般分析，则蕴涵其中的诸原理、策略、方法必能如日出云. 如“面积证明法”和“算两次”原理. 由于图形在割补前后的“面积守恒”，就可以通过把面积“算两次”. 借助代数推理顺利达成目标. 而这些方法在推证乘法分配律和乘法公式时也曾多次用到，同时也是解证数学命题的重要而有效的方法.

各地中考关注到这一点，命制了多例优质考题.

例1 ……操作示例：对于边长为a的两个正方形ABCD和EFGH，按图2－1所示的方式摆放，在沿虚线BD，EG剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为图2－1中的四边形BNED. 从拼接的过程容易得到结论：四边形BNED是正方形；②S正方形ABCD＋S正方形EFGH＝S正方形BNED.

实践与探究：（1）对于边长分别为a，b（a＞b）的两个正方形ABCD和EFGH，按图2－2所示的方式摆放，连结DE，过点D作DMDE，交AB于点M，过点M作MNDM，过点E作ENDE，MN与EN相交于点N. ①证明四边形MNED是正方形，并用含a，b的代数式表示正方形MNED的面积；②在图2－2中，将正方形ABCD和正方形EFGH沿虚线剪开后，能够拼接为正方形MNED，请简略说明你的拼接方法（类比图2－1，用数字表示对应的图形）. （2）对于n（n是大于2的自然数）个任意的正方形，能否通过若干次拼接，将其拼接成为一个正方形？请简要说明你的理由.

例2 在图3-1～3-5中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE＝2b，且边AD和AE在同一直线上．

操作示例：当2b＜a时，如图3-1，在BA上选取点G，使BG＝b，连结FG和CG，裁掉FAG和CGB并分别拼接到FEH和CHD的位置构成四边形FGCH．

思考发现：小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将FAG绕点F逆时针旋转90°到FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上． 连结CH，由剪拼方法可得DH=BG，故CHD≌CGB，从而又可将CGB绕点C顺时针旋转90°到CHD的位置． 这样，对于剪拼得到的四边形FGCH（如图3-1），过点F作FMAE于点M（图略），利用SAS公理可判断HFM≌CHD，易得FH=HC=GC=FG，∠FHC=90°． 进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形．

实践探究：（1） 正方形FGCH的面积是 ；（用含a，b的式子表示）（2）类比图3-1的剪拼方法，请你就图3-2—图3-4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．

联想拓展：小明通过探究后发现：当b≤a时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移． 当b＞a时，如图3-5的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．

例3 有一个边长为5的正方形纸片ABCD（图略），要将其剪拼成边长分别为a，b的两个小正方形，使得a2+b2=52．

（1） a，b的值可以是 （写出一组即可）；

（2） 请你设计一种具有一般性的裁剪方法，在图中画出裁剪线，并拼接成两个小正方形，同时说明该裁剪方法具有一般性．

例4 在学习勾股定理时，我们学会运用图4-1验证它的正确性：图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4·ab，即（a+b）2=c2+4·ab，由此推出勾股定理a2+b2＝c2，这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．

（1） 请你用图4-2的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形全等且长直角边为α，短直角边为b）．

（2） 请你用4-2提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证（x+y）2=x2+2xy+y2.

（3） 请你自己设计图形，用其面积表达式验证：（x+p）（x+q）=x2+px+qx+pq=x2（p+q）x+pq.

点评：上述四例中，例１-2与“出入相补”构图法异曲同工，展现了“有目的地改造、调整、完善图形”的过程；例３属于这种方法的逆向应用——如何出现a2+b2？——将a，b作为直角边置于同一个Rt中；而例４则更强调对“面积”的“算两次”．数形结合充斥其中，对思维品质是个挑战，可以有效发展学生的理性思考能力与创新精神！

实际上，将“a2，b2，c2”的几何意义释放给图形面积是有多种思路的. 欧几里德借助“同底等高的三角形面积相等”设计的证法就很独特，读者可以查阅相关资料. 笔者研究时，曾偶得一法.

如图5所示，以AB为一边在ABC外部作正方形ABMN；过点C作CHMN，垂足为H；在CH上截取CP=c；再过点P作PQCA，垂足为Q.

易知四边形ACPN为平行四边形，且S矩形AKHN=SACPN.

在PCQ和 ABC中，易知∠PQC=∠ACB=90°，∠PCQ=∠ABC=90°-∠BAC，PC=AB=c，则PCQ≌ABC， PQ=AC=b， SACPN=AC·PQ=b2，即S矩形AKHN=b2. 同理，可得S矩形BKHM = a2. 则S正方形ABMN = S矩形BKHM+S矩形AKHN=a2+b2. 又S正方形ABMN=c2. 故有：a2+b2=c2.

二、 勾股定理逆定理的证明策略及其分析

教材上对勾股定理的逆定理的证明是先构建一个直角边长分别为a，b的直角三角形，然后证明以a，b，c为边的三角形与之全等，从而确定满足a2+b2=c2的三角形是直角三角形．实际上，这就是证明中常用的“同一法”：当定理的条件与结论所指的事件是唯一的，且范围相同，则原命题的逆命题一定成立.这时若证明原命题不易入手，可改证其逆命题，这是一种间接证法.利用“同一法”证明命题一般经历如下步骤：

（1） 做一个具有命题所述属性的图形；

（2） 证明这个图形与已知条件符合；

（3） 通过推理，说明所作图形与题设要求的图形是一致的；

（4） 判断原命题所述图形具有某种属性.

教材上运用“同一法”的典型实例还有对“判定两个三角形相似的三种方法”的合理性的证明.

新课标强调学生应该学会“数学地思考”，这有赖于良好的数学意识． 数学意识的培养，必须经由教师有意识地在教学中建立与不断强化，并通过学生自己经历由有意识地控制其数学心理活动到自动发挥效用的过程. 伴随着数学意识的逐步建立及其在数学活动中的不断强化，“数学地思考”的能力才会在实践中深化、内化直到自动化. 数学意识在数学活动中发挥指导调节作用的水平，是学生数学修养深浅的一种心理标志.对数学知识系统而深刻的理解，对数学思想方法的深刻体悟，是数学意识在心理上发挥对思维过程起动力与调节作用的重要前提. 而所有这些的实现无疑有赖于高效课堂，有赖于合理的教学“预设”与“生成”，并最终决定于教师对教材和教学的理解程度.

教材是学科知识内容的载体，连同由此映射出的思想方法是发展学科观念、学科意识和学科能力的重要源泉. 解读教材，是实现“用教材教”的基础，重在提炼隐藏于其中的学科规律与教育教学价值，并以此引领课堂教学，渗透思想方法，强化学科意识，最终达到提升学生思维品质的目的.

课堂是渗透思想方法、发展学科观念、强化学科意识、提升学科能力和思维品质的首要阵地.深度解读教材，挖掘学科规律是引领教学实现高效课堂的前提. 目前受“功利化”思想的影响，“应试教育”、题海战术横行，许多本来应在课堂上充分展开思维过程，被“掐头去尾烧中断”了，数学课堂“有教无育”，让人生悲！学生们“做”得不少，“思”力不足，遇到上述例1～4时，由于“脸不熟”，往往无从下“思”. 止此，显见教师深度解读教材的能力是必要的，教师引领教学方向的能力是必需的！