小学数学“问题解决”与“模型思想”

郑毓信教授在《数学教育哲学》一书中指出：“数学是模式的科学，数学教学的基本任务就在于帮助学习者逐步建立与发展分析模式、应用模式、建构模式与欣赏模式的能力。”

《数学课程标准（2011年版）》的十大核心词就有“模型思想”，课标指出，“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。”与此同时，课标把“解决问题”改为“问题解决”，并把它作为课程目标之一，其内涵包括经历发现和提出问题、分析和解决问题的全过程，获得分析问题和解决问题的策略，学会合作交流，形成评价和反思意识。在小学数学教学中，模型思想对问题解决有哪些帮助呢？二者之间又有着怎样的关系呢？

一、在“问题解决”的过程中构建“数学模型”

一般的问题解决要经历四个步骤，即发现问题、提出问题、分析问题、解决问题。所以问题解决的过程不是一蹴而就的，它需要学生在发现问题并明确问题后，能够提炼出相应的条件信息，从而利用已有的知识经验进行分析，最终确定解决问题的方法和提供解决问题的步骤。

当然，“数学模型”的形成与构建，是学生在问题解决的过程中，利用已有的“数学模型”构造新的“数学模型”的过程。“数学模型”的建立也不是一个简单的过程，需要学生经历一个反复的过程。

从教学过程来看，出示这个问题后，学生并不容易想到可以用画线段图的方法来解决，因为这道题没有明显的用画线段图解决的标志，比如三年级学习的倍数问题。所以在学习完这一问题后，学生会形成以下三种层次的“经验”，当然最终的“经验”会转变为“数学模型”，最终形成“模型思想”。

层次一：当学生下次再遇到类似的问题时，学生会想到用过的方法来画出；层次二：在经过多次遇到类似的问题后，在脑海里在意识中抽象出这一“数学模型”；层次三：在形成这样一种简单的“数学模型”后，能否面对问题的提升和外延。

学生在解决这样类似的问题的过程中，是根据每个个体不断地总结和提炼的。老师在学生“数学模型”建构的过程中，要扮演引导者和辅导者的角色。

在问题解决的教学过程中，能够简单地搜集信息、整理信息，从数学的角度，用数学的眼光去提出问题还是不够的，解决生活中数学问题的目标是让学生运用已有知识和能力发现问题、解决问题，因此还要让学生经历由数学问题到数学模型的转化，构建“数学模型”，形成“模型思想”是非常有必要的。对于部分学生来说是有一定难度的，需要教师的正确引导、同学的帮助，更重要的是让学生本人在问题解决的过程中，不断地感知、质疑、思考、释疑，从而形成并构建“数学模型”。

数学模型的建立需要一个反复的过程，即指“从数学的角度，对所需研究的问题进行模拟，舍去无关因素，保留其数学关系，以形成某种数学结构”。具体地说，学生从实际问题出发，在教师的引导下，经历提出问题、举例验证、自我反思、完善规律、建立模型这样一个过程。这不仅是一个主动学习、构建模型的过程，更是一个创新学习的过程，是学生渐渐形成自己的数学知识结构的过程。

二、在“模型思想”的基础上助“问题解决”

小学阶段，对于学生来说，问题解决是学生经历探索和克服困难的学习过程。在这一过程中，所使用的方法、策略是新的，至少从某种角度看，部分环节和途径是新的。这些策略、方法、途径等都是学生已有数学知识、经验、方法策略等的重新组合和配对，同时略有提升和拓展。教师应当了解数学模型及建模思想，并在教学中渗透这种思想。

以“数学模型”的形成来看，从生活情境到数学模型的过程，更多是数学模型从思维模型状态向形式模型状态转变的过程；而从数学模型到生活情境则是数学模型从形式模型状态再次回到思维模型状态，是帮助学生进一步积累模型经验，从而提升数学模型的应用水平的过程。

对于认知层次，在教学过程中是需要教师作一定的引导和点拨的，这也是应用数学模型解决问题的真正价值所在。在问题解决的过程中，需要灵活解构数学模型的能力。总之，模型思想是数学学习的基本思想之一，需要教师在小学数学教学中进行适时适度培养。

数学是一门应用性很强的基础学科，只有在问题解决与实践应用中才能把握数学知识的精髓。作为课标中十大关键词之一的“模型思想”，它的作用自然处于所有数学应用之心脏。因此，在问题解决的过程中成功地建构数学模型后，还需要拓展模型来解决生活中的实际问题，以实现形式上的数学知识向现实生活的回归。因此，模型思想的渗透与形成，需要借助问题解决，而问题解决也需要模型思想在其中发挥重要的作用。■

（作者单位：江苏苏州工业园区方洲小学）