沙漏摆质量减小对其运动周期的影响

题目 在圆锥形漏斗中灌满细沙，并用一定长度的轻线悬挂起来做成沙漏摆，如图1所示。忽略悬线的弹性形变，使沙漏摆在坚直平面内绕悬点做简谐运动，同时细沙从漏斗中缓缓漏出，此过程中沙漏摆的周期是否变化？如果变化，其变化又会遵循怎么的规律？

解与析 单摆的周期公式为T=2πl/g。一般认为单摆周期由摆长和当地的重力加速度决定，与单摆的振幅和摆球质量无关。但值得注意的是摆长l为摆球质心到悬点之间的距离。上例中，其质心位置由圆锥形漏斗和漏斗内的沙子共同决定。当沙子缓缓从小孔漏出时，质心位置沿摆线方向先下降后上升，使得摆长先变长后变短，故其周期T也先变大后变小。从而表明沙漏摆的质量与周期密切相关。通过定量计算，可给出沙子漏出过程中质心位置的变化函数，从而研究沙漏摆质量减小对其周期的影响。

根据单摆的周期公式，可知沙漏摆的周期为

T=2πL+l′g(1)

其中L为摆长线长度，l′为质心到A点之间的距离，如图1所示。

取圆锥形漏斗的O为坐标原点，建立直角坐标系，如图2所示。由沙子的均匀性和漏斗的轴对称性，漏斗的质心和沙子的质心均在Z轴上。

首先我们来计算圆锥形容器的质心位置。由于空心圆锥与质量分布均匀的实心圆锥的质心位置是相同的，现设圆锥的密度为ρ容为一常数，且底面半径为R，高度为h，在距O点z处取一薄圆盘，半径为r，高度为dz，如图2所示，则薄圆盘的质量为dm=ρ容πr2dz，将每个薄圆柱体的半径r用z的函数表示出来为：r/R=z/h，或者有r=zR/h，则圆锥形容器的质心坐标为：

zc1=∫h0zdmM=∫h0zρ容πr2dzM=ρ容πR2h2∫h0z3dzM

=14ρ容πR2h2M=34h(2)

下面再来计算细沙的质心位置，设某时刻细沙的高度为h′，设沙子的密度为ρ沙，则沙子的质量为m沙=13ρ沙πr2h′=ρ沙πR23h2h′3，同理可得，质心坐标为zc2=34h′(3)

则整个的摆球的质心坐标为

zc=m容zc1+m砂zc2m容+m砂=3ρ容h4+3ρ沙h′44ρ容h3+4ρ沙h′3(4)

所以质心到A点之间的距离为

l′=h-zc=ρ容h4+4ρ沙h′3h-3ρ沙h′44ρ容h3+4ρ沙h′3 （5）

设容器的密度为沙子密度的k倍，则上式可以化简为：

l′=kh4+4h′3h-3h′44kh3+4h′3(6)

所以单摆周期为

T=2πL+l′g

=2πL+kh4+4h′3h-3h′44kh3+4h′3g(7)

（7）式给出了沙子在漏出过程中，单摆周期的变化函数，若取L=1m，h=0.1m，当k=0.2和0.5时，运用数学软件maple绘制l′随h′的变化函数，从图3中从可以明显看出，质心到A点之间的距离先增大后减小，从而根据（7）式，沙漏摆的周期先增大后减小。

当沙子装满漏斗时，沙漏摆的周期为：

Tmin=2πL+l′ming=2πL+h4g=2.031s

上式中l′min=h4与k的取值无关，随着沙子漏出，根据（6）式，l′取到最大值时，周期也取到最大值。如取k=0.5，，当h′=0.0594时，l′=0.0343m，与k的取值无关，此时沙漏摆的周期为：Tmin=2πL+l′ming=2πL+h4g=2.031s

上面通过计算，得到了在沙子漏出过程中，质心坐标的变化函数，从而得出了沙漏摆周期的变化函数，并用maple清晰的描述了周期的变化规律，研究了沙漏摆质量减少对其周期的影响。

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