复利法中实际利率的计算

【摘要】工程经济课程中时间的等值计算经常用到实际利率。每年计息次数越多，实际收益越大。有些学生对此刨根问底，随着计息期的缩短计息次数的增加，年有效利率会一直增大吗？本文利用高等数学方法对此问题进行了推导证明给出定性结论，并用数字举例说明了收益的界限。以本文飨于好学的学生与各位同仁。

【关键词】名义利率实际利率

中图分类号：G613文献标识码： A

在复利法计算中，一般采用年利率。但年利率的实际计息周期可能等于一年，也可能小于一年。若实际计息周期是一年，这种年利率即为实际利率；若实际计息周期小于一年（如一月或三月、半年），则这种年利率称为名义利率或虚利率，经过计算后得到的才是年有效利率。

设名义利率为r，在一年中计息m次，则每期之利率为r/m。假若年初借款P元，一年计息m次，一年后的本利和为：

其中利息部分应为本利和与本金之差额F―P，即

又根据利率之定义，单位时间内利息与本金之比为利率。故当名义利率为r时，实际利率由下式求得：

假定名义利率r=12%，计算出几个时间的年实际利率列表如下：

从表中计算数据可以看出：当m=1时，实际利率i等于名义利率r；当m＞1时，实际利率i＞r；而且m越大，二者差距也越大。

这几个点的数据特点能否代表实际特征？通过列举法计算只能显示特殊性难以表达普遍性，下面通过高等数学的推导来回答这个问题。

1. 当m＞1时，是否实际利率i＞r？

构造数学函数 i ―r = ―r，如果该式结果恒大于零，则结论成立。

先判别该式的增减性。

最基本的方法是对该式求m的导数，导数大于零（小于零）为增函数（减函数）。

分析该式，r作为年利率已经确定可以作为常数处理（尽管r可以变化），函数的增减性完全取决于，只要分析这部分即可。

令y = ，直接对y求m的导数显然不易。先对两边自然对数后再求导就容易些。

对复合函数求m的导数：

上式中确定大于零。

是否大于零不易判定，但能看出当m趋向于正无穷大时，其极限值为零。下面判断的增减性。

令A=，对A求m的导数，

显然A为m的减函数，随着m的增大，A值趋向更小，在+∞处趋向极值0。也就是说，A的值应该一直为正值。

再回到前面看式子，因为与都大于零，其乘积为正，判定。所以y是m的增函数，那么i ―r = ―r也是m的增函数。当m=1时，i ―r=0，随着m的增大，实际利率在增大，故i＞r成立，名义利率与实际利率的差额也越来越大。后面通过几个点的计算也能说明这个问题。

2. 实际利率可以无限止增大吗？

从上面推导分析知道，实际利率i=是增函数，它会随m的增加而无休止增大吗？

这可以演变为求极限问题。

套用极限公式可知，原式

所以，实际利率不会无限制增加，它的值逼近极限。具体值是多大？我们举例计算比较。给定年利率，计算年有效利率的极限值，并算出差值验证上边的结论。

从计算结果可以发现，年有效利率肯定大于名义利率，二者的差值随名义利率r的增加而增大，但差值的绝对值很小。这也验证了上面的结论。再者银行年利率（名义利率）难以超过10% ，即使无限次计息实际利率相差也不到1%，年内多次计息没有什么实际的经济意义。

本文给出了高等数学应用分析方法，对于经济问题的定性分析具有一定的借鉴意义，希望能起到抛砖引玉的作用。

【参考文献】

1. 张豫 廖方勤 主编. 建设工程经济.广州：中山大学出版社. 2012.8

2. 唐树伶 张启富 主编. 经济学.大连：东北财经大学出版社.2006

3. 龚德恩. 经济数学基础. 成都：四川人民出版社，1999