喷气燃料流动传热的理论分析

摘 要：本文通过流动与传热的控制方程，建立层流状态的流体模型，对喷气燃料流动传热过程进行了系统的理论分析，为喷气燃料热氧化安定性的评定奠定了重要的理论基础。

关键词：喷气燃料；流动传热；理论分析

流体在加热管中流动传热的温度不仅决定氧化和裂解反应速率，还影响溶解氧和沉积母体在基体中的传质，流动速度和剪切力也影响壁面上的沉积。对喷气燃料在发动机系统中热负荷较重的部件，特别是燃油-滑油散热器、燃油喷嘴中的流动传热状态的计算就非常必要。本文通过流动与传热的控制方程，建立层流状态的流体模型，对喷气燃料流动传热的过程进行了系统的理论分析。

1.流动与传热的控制方程

建立三维直角坐标系Oxyz，流体的速度矢量U在这三个坐标上的分量分别为u，v，w，压力为p，流体的密度为ρ。u，v，w，p和ρ都是空间坐标及时间的函数。对流体中任意微元体积dxdydz，应用质量守恒定律、动量守恒定律及能量守恒定律。

1.1质量守恒方程

对在空间某位置的微元体，单位时间内微元体中流体 质量的增加应等于同一时间间隔内流入该微元体的净质量。

对于不可压缩流体，流体密度为常数，质量守恒方程可简化为

1.2动量守恒方程

对该微元体分别在三个坐标方向上应用牛顿第二定律在流体流动中的表现形式，即微元体流体动量的增加率等于作用在微元体上各种力之和，使用牛顿切应力公式及Stokes的表达式，可得三个方向速度分量的动量方程。

其中η为流体的动力学粘度， 为流体的第二分子粘度。将上面三式等号后分子粘性作用项做变化，得到三维非稳态Navier-Stokes方程

对于粘性为常数的不可压缩流体，Su=Sv=Sw=0，于是上式简化为

其中v为流体的运动粘度。

1.3能量守恒方程

微元体内热力学能的增加率等于进入微元体的净热流量与体积力表面力对微元体做的功之和。由导热Fourier定律，可得出用流体比焓h及温度T表示的能量方程。

其中λ是流体的导热系数，Sh是流体的内热源，Φ是耗散函数，表示由于粘性作用机械能转化为热能的部分，其计算公式如下

式（1-6）中pdivU是表面力对流体微元体所做的功，一般可以忽略，对于液体可以取h=cpT，进一步取cp为常数，并把耗散函数Φ归入源项ST中，ST=Sh+Φ

对于不可压缩流体有

还需要补充一个联系ρ，p的状态方程，方程组才能封闭

1.4组分守恒方程

本问题中在流动传热过程伴随有传质过程，控制方程中还应包括组分守恒方程。设组分l的质量百分数为ml，质扩散的Fick定律[1]

式中Rl是单位容积内组分l的产生率， 是组分l的扩散系数。

2.层流状态的流动传热计算

通过计算，喷气燃料流动在燃油-滑油散热器中流动时Re数低于500，JFTOT加热管中燃料流动Re数大概只有几十，可以认为是层流状态。

2.1层流状态的流体模型

（1）Navier-Stokes方程[2]

一维层流流动模型的控制方程为Navier-Stokes方程：

边界条件：

式中，u为流体速度，r为控制体离管道中心线的距离，us为近壁面处的流体速度，R为管道的半径，ζ为速度滑移系数，为流体分子在表面处漫反射分数，通常取f=1，λ为分子的平均自由程。

（2）充分发展区的流动传热模型

为便于分析和简化计算，首先做以下假设：（1）流体的物理特性为常数；（2）流体中的轴向导热略而不计；（3）管壁很薄，通过管壁的热阻略而不计；（4）不考虑流体中的粘性耗散。如果加热管的长度足够大，采用充分发展的物理模型来计算。对于截面上流体的无量纲分布与流动方向的坐标无关的换热工况，条件可以表示为：

其中TW，m是截面上的平均壁温，Tb是流体的截面平均温度，T是流体的局部温度。在上式中，无论T、Tb还是TW，m都可能是x的函数，但上述无量纲过余温度则与x无关。在到达换热充分发展区之前的部分称为热进口段，在这里流体的速度场可能已充分发展，也可能正在发展中，但无量纲温度则不满足式（1-14）。

在充分发展区，速度分布可由分析解得出。这里仅需求流体中的温度分布，利用充分发展的条件及上述假设，在以管轴向为x轴，径向为圆柱坐标r轴的坐标系中，温度控制方程可简化为：

其中轴向流速u由下式确定：

um为截面平均流速。

（3）无量纲温度控制方程

要确定充分发展区域的Nu数关键在于获得截面上的温度分布。为此定义一个与主流方向的位置无关的无量纲温度，以把式（1-15a）化成关于该无量纲温度的常微分方程式。充分发展换热区的根本特点是无量纲温度与主流方向的位置无关，至于该无量纲温度的定义则并无一定的格式，需随具体情况而定。在本模型中定义无量纲过余温度如下：

于是有：

再定义 ，将式（1-16）代入（1-15a），整理后可得：

其中 。

注意到式（1-18）的左端仅与x或X有关，而右端则仅与η有关，因而必各自等于同一常数，设为-Λ（Λ>0）。由于dTb/dX与（Tb-T∞）永远是异号的，故此常数值必小于零。Λ称为特征值，这是因为在给定的条件下，只有某个特定的值才能使（1-18）成立。Λ的值需要在求解过程中确定。

由（1-8）可得关于无量纲温度的控制方程：

边界条件为：

其中

在定义了无量纲温度与无量纲坐标后，把温度变量的偏微分方程化为了常微分方程，式（1-15a）就是关于x坐标的抛物型方程。

（4）单值性条件

由于方程本身和边界条件都是齐次的，方程（1-19a）与边界条件（1-19b）还不足以唯一地确定，必须寻找一个附加条件以对的绝对值作出限制。从能量平衡的角度来看温度分布应满足的条件。按截面上流体平均温度的定义：

引入的定义后，上式化为

显然此式对的绝对值作出限制的附加条件，这样，式（1-19a），（1-19b），（1-19c）组成了关于的完整的数学描写，其中速度由式（1-15c）所规定。

2.2层流状态的流动传热计算

式（1-6a）是圆柱坐标中的一维导热型方程，其中 作为源项。由于Λ之值需要在求解过程中确定，因而整个计算过程必然带有迭代的性质。为了建立关于Λ的迭代公式，引入一个新的变量ф，使

于是（3-6a），（3-6b），（3-6c）便化为：

其中式（1-21c）规定了用迭代方法求（下转第117页）（上接第115页）解Λ的方式。

方程组（1-21）的数值计算步骤如下：

（1）假设一个ф场，记为ф*，代入式（1-21c）计算相应的Λ*；

（2）将Λ*代入式（1-21a），求解一个带源项的导热型方程，获得改进的ф；

（3）重复上述计算，直到收敛的条件满足为止。

计算表明，上述迭代过程收敛很快。这是因为在式（1-21a）的源项

式中，ф同时出现在分子、分母里，因而ф的绝对值对源项并无重大影响，主要是ф的分布，源项对ф的绝对值的不敏感性有利于迭代过程收敛。

参考文献：

[1]Dr.Nathan Messersmith. Future High Mach Propulsion. AIAA 2003-2613.International Air and Space Symposium and Exposition.July 2003:1～7.

[2]Gregory Hemighaus, Dennis J. O’Rear. Thermally Stable Jet Prepared from Highly Paraffinic Distillate Fuel Component. United States Patent, Patent No. US 6,846,402 B2, Jan.25, 2005.