套利定理的对偶性

【摘要】 本文提出了证明套利定理的新方法，即利用齐次Gordan-Motzkin型择一定理证明套利定理，同时也揭示了套利定理实际上说明的是一对对偶线性锥系统的关系。从证明过程看，这里的证明方法较其他证明方法简洁明了，也为解决其他类似问题提供了一种新思路。

【关键词】 套利定理 风险中性概率 择一定理

套利充实着金融市场的各个领域，无论是理论还是实证，套利与无套利都是现今研究的主要课题之一。套利定理是数理金融理论中最重要的基础理论之一，也是研究套利的重要工具，由套利定理可以导出其他很多结论。因此，在数理金融中，该定理被广泛应用。现在已经有很多方法来证明套利定理，这些方法各有优劣，也从某些方面揭示了套利的实质。

套利定理实际为两组线性不等式组的关系，本文利用线性不等式组、线性系统或线性锥系统的择一性来证明套利定理。这种方法思路清晰，证明简洁明了，并从证明中得到套利与无套利为一对对偶关系。

一、预备知识

1、齐次Gordan-Motzkin型择一定理

设A是矩阵，x、u是列向量。

引理1（Gordan定理）对齐次线性不等式组：

（Ⅰ）Ax>0

（Ⅱ）ATu=0，u?叟0

则（Ⅰ）有解的充分必要条件是（Ⅱ）无解。

引理2对齐次线性不等式组：

（Ⅰ）Ax?叟0

（Ⅱ）ATu=0，u>0

则（Ⅰ）有解的充分必要条件是（Ⅱ）无解。

2、线性锥系统的择一定理

引理3设x∈Rn、u∈Rm、A∈Rm×n；Cx为Rn中其锥，其对偶锥为C?鄢x.考虑线性锥系统：

（Ⅰ）x∈Cx，Ax>0

（Ⅱ）-ATu∈C?鄢x，u≥0，u≠0

则（Ⅰ）有解的充分必要条件是（Ⅱ）无解。

二、用择一定理证明套利定理

设有n个与有m个结果的实验相关，第i个在第j个结果出现时的收益率为ri（j）（i=1，2，…，n；j=1，2，…，m）。

记策略向量：x=（x1，x2，…，xn）T；

概率向量：p=（p1，p2，…，pm）T；

1、套利定理

命题1（套利定理）

下列结论有且只有一个正确：

（Ⅰ）存在策略x，使得：Rx >0；

（Ⅱ）存在概率向量p，使得：RTp=0。

证明：由引理1，下列不等式组有且只有一个正确：

（Ⅰ）Rx>0；

（Ⅱ）RTu=0，u?叟0。

则p为概率向量，且不等式组RTu=0，u?叟0与不等式组存在概率向量p，使得RTp=0等价。

所以，命题成立。

2、弱套利定理

命题2（弱套利定理）

下列结论有且只有一个正确：

（Ⅰ）存在策略x，使得：Rx?叟0；

（Ⅱ）存在正概率向量p，使得：RTp=0。

证明：由引理2，下列不等式组有且只有一个正确：

（Ⅰ）Rx?叟0；

（Ⅱ）Ru=0，u>0。

所以，命题成立。

三、结论

套利定理的证明有很多种方法，这里是用齐次Gordan-Motzkin型择一定理来证明，从证明过程可见，证明过程简洁明了。

另外，也可以利用线性锥系统的择一定理（引理3）来证明套利定理。即令Cx=Rn，则C?鄢x={0}，由引理3即可得到套利定理。

本来，单从数学角度上看，套利定理只是关于一类线性不等式组的一个关系问题，而齐次Gordan-Motzkin型择一定理或线性锥系统的择一定理正是处理和揭示这类线性不等式组某些性质的定理，所以，从简单思维上看是很容易将两者结合起来的。

套利定理可以看成免费的午餐，弱套利定理可以看成免费的，即套利保证稳获利，而弱套利定理保证无损失，且有正的风险中性概率。

这两个套利定理保证了要么存在各种状况下稳获利或不损失的投资或策略，要么存在风险中性概率，使在此概率下投资或的期望收益为0。

单从套利定理上看，定理中两个结论是矛盾的，即要么可以套利，要么只能使期望收益为0。但从线性锥系统的择一定理看，套利定理中两个结论是一对对偶关系。这种矛盾的对偶关系可为套利定理的应用提供理论基础和广阔的领域。

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