索赔次数为复合Poisson-Geometric过程的双险种风险模型

摘 要 对索赔次数为复合Poisson-Geometric过程的双险种风险模型进行研究,给出了生存概率所满足的积分方程、指数分布下的具体表达式及有限时间内的积分―微分方程,并利用鞅方法得到了最终破产概率的Lundberg不等式和一般公式.

关键词 Poisson-Geometric过程；鞅；破产概率；Lundberg不等式

中图分类号 O211.67 文献标识码 A

A Doubletype-Insurance Risk Model with Claim

Numbers Following Compound Poisson-Geometric Process

ZHAO Jin-e1, WANG Gui-hong2, LONG Yao1

(1. College of Mathematics, Honghe University, Mengzi, Yunnan 661100;

2. Department of Computation and Science, Yuxi Agricultural Vocation College, Yuxi, Yunnan 653106)

Abstract A doubletype-insurance risk model was considered,whose claim numbers are a compound Poisson-Geometric process. The integral equation and the explicit expression under exponential distribution and the integral-differential equation of the survival probability were derived. Meanwhile, by applying martingale approach, the Lundberg inequality and the common formula of the ultimate ruin probability were obtained.

Key words Poisson-Geometric process；martingale；ruin probability；Lundberg inequality

1 引 言

保险风险理论是当前精算界和数学界及保险业研究的热门课题,主要处理保险实务中的随机风险模型,并研究调节系数和破产概率等问题.国内外许多学者在保险公司推出免赔额制度和无赔款折扣(NCD)制度的背景下,引入了一类描述索赔计数过程为复合Poisson-Geometric过程(国外称之为Pólya-Aeppli过程)的风险模型.文献［1,2］研究了该模型破产概率所满足的更新方程及上界估计,并在个体索赔额服从相位分布时得到了破产概率的显示表达式,文献［3］得到了破产概率的一般公式及积分方程,文献［4］求出了Gerber-Shiu折现罚金函数所满足的更新方程及破产概率的Pollazek-Khinchin公式.而在这些研究中,总是假设保费的收入过程是时间的线性函数,即保险公司按单位时间常数速率取得保单,并假定每份保单收取的保险费均为c.但任何风险事业都是在随机环境中进行的,因此单位时间内收到的保单数及每份保单收取的保险费都应是随机的；此外随着保险公司经营规模的日益扩大及新险种的不断开发,必然导致多元化经营,而且某一保险事故发生时往往可能会同时面临多个风险,因此有必要为单一险种提供更为客观实际的风险模型.基于上述因素本文对文献［1－4］进行推广,建立保费收入为复合Poisson过程且索赔次数为复合Poisson-Geometric过程的双险种风险模型,给出了生存概率满足的积分方程及其在指数分布下的具体表达式,并利用鞅方法得到了最终破产概率满足的一般公式和Lundberg不等式,同时导出有限时间内生存概率的积分微分方程.使得模型更接近保险公司的实际经营运作,从而对保险监管部门设计某些监管指标系统以及保险公司设计相应的财务预警系统等问题有直接的参考和指导作用.

2 模型引入

定义1 设(Ω,F,P)是一包含本文所有随机变量的完备概率空间,则对u≥0,t≥0,定义保险公司的盈余过程为：

U(t)=u+∑M(t)i=1Xi－∑N1(t)i=1Yi－∑N2(t)i=1Zi,

其中：

1)u为常数,表示保险公司的初始盈余；

2){M(t),t≥0}是强度为λ的Poisson过程,{N1(t),t≥0},{N2(t),t≥0}是参数分别为(λ1,ρ1)(0≤ρ1＜1),(λ2,ρ2)(0≤ρ2＜1)的复合Poisson-Geometric过程,分别表示至时刻t为止保险公司收到的保单总数、第一类保单发生的总索赔次数及第二类保单发生的总索赔次数；

3){Xi,i≥1}是独立同分布的非负随机变量序列,Xi表示第i份保单收取的保费,其分布函数为FX(x),且E［Xi］=μx；

4){Yi,i≥1},{Zi,i≥1}是独立同分布的非负随机变量序列,Yi表示第一类保单的第i次索赔额,Zi表示第二类保单的第i次索赔额,其分布函数分别为FY(y),FZ(z),密度函数为fY(y),fZ(z),且FkY(y),fkY(y),FkZ(z),fkZ(z)分别为FY(y),fY(y),FZ(z),fZ(z)的k重卷积,E［Yi］=μy,E［Zi］=μz；

5){Xi,i≥1}, {Yi,i≥1},{Zi,i≥1},

{M(t),t≥0},{N1(t),t≥0},{N2(t),t≥0}相互独立.

记S(t)=∑M(t)i=1Xi－∑N1(t)i=1Yi－∑N2(t)i=1Zi,表示保险公司的盈利过程.为保证保险公司的稳定运作,通常要求(λμx－λ11－ρ1μy－λ21－ρ2μz)t＞0,并由此定义相对安全负荷系数θ=λμxλ11－ρ1μy+λ21－ρ2μz－1＞0.

定义2 记T=inf {t≥0,U(t)＜0},表示保险公司破产的时刻,则在初始盈余为u的条件下,分别定义保险公司的最终破产概率及在t时刻之前的破产概率为ψ(u)=Pr {T＜∞|U(0)=u},

ψ(u,t)=Pr {T＜t|U(0)=u},对应的生存概率为φ(u)=1－ψ(u),φ(u,t)=1－ψ(u,t).

3 主要结果

引理1 lim t∞U(t)=∞,a.s..

证明 当t∞时，M(t)∞,N1(t)∞,N2(t)∞,由强大数定律和文献［5］有

lim t∞U(t)t=lim t∞ut+lim t∞∑M(t)i=1XiM(t)・M(t)t

－lim t∞∑N1(t)i=1YiN1(t)・N1(t)t－lim t∞∑N2(t)i=1ZiN2(t)・N2(t)t

=λE［Xi］－λ11－ρ1E［Yi］－λ21－ρ2E［Zi］

=λμx－λ11－ρ1μy－λ21－ρ2μz＞0,a.s..

故lim t∞U(t)=∞,a.s..

引理2 lim u∞φ(u)=1,a.s..

证明 由引理1知,当t充分大时,S(t)＞0,即T＞0,对t＞T,S(t)＞0,而在T之前只有有限次索赔发生,故inf t＜T S(t)以概率1有下界,即inf t≥0S(t)＞－∞,a.s.,所以,当u∞时,有U(t)∞,从而lim u∞φ(u)=1,a.s..

引理3 对盈利过程{S(t),t≥0},存在函数g(r),使得E［e－rS(t)］=etg(r).

证明

E［e－rS(t)］=Ee－r∑M(t)i=1Xi+r∑N1(t)i=1Yi+r∑N2(t)i=1Zi

=Ee－r∑M(t)i=1Xi・Eer∑N1(t)i=1Yi・Eer∑N2(t)i=1Zi

=eλt(MX(－r)－1)eλ1t(MY(r)－1)1－ρ1MY(r)eλ2t(MZ(r)－1)1－ρ2MZ(r)

=e［λ(MX(－r)－1)+λ1(MY(r)－1)1－ρ1MY(r)+λ2(MZ(r)－1)1－ρ2MZ(r)］t,

其中MX(r)=E［erX］为随机变量X的矩母函数. 令

g(r)=λ［MX(－r)－1］+λ1(MY(r)－1)1－ρ1MY(r)

+λ2(MZ(r)－1)1－ρ2MZ(r),

即有E［e－rS(t)］=etg(r).

引理4 调节方程g(r)=0存在唯一正解R,称之为调节系数.

证明 因为g(0)=0,且

g′(r)=－λM′X(－r)+λ1(1－ρ1)M′Y(r)［1－ρ1MY(r)］2

+λ2(1－ρ2)M′Z(r)［1－ρ2MZ(r)］2,

从而有

g′(0)=－λμx+λ11－ρ1μy+λ21－ρ2μz＜0,

又

g″(r)=λM″X(－r)+λ1(1－ρ1)［1－ρ1MY(r)］2［M″Y(r)

+2ρ1(M′Y(r))21－ρ1MY(r)］+λ2(1－ρ2)［1－ρ2MZ(r)］2［M″Z(r)

+2ρ2(M′Z(r))21－ρ2MZ(r)］.

由于0≤ρ1＜1,0≤ρ2＜1,且MY(r),MZ(r)递增,则存在r1＞0,r2＞0,使得MY(r1)=1/ρ1,MZ(r2)=1/ρ2,取r=min {r1,r2},则当r＜r时g″(r)＞0,故g(r)在(0,r］内是凸函数,又rr时,g(r)∞,所以方程g(r)=0有唯一正解R,且R＜r.

引理5 令Mu(t)=e－r(u+S(t))－tg(r),则Mu(t)是关于σ－域Fs={Fst,t≥0}的鞅,其中Fst=σ{S(t′),t′≤t}.

证明 υ≤t,由引理3得

E［Mu(t)|Fsυ］=E［e－r(u+S(t))－tg(r)Fsυ］

=E［e－r(u+S(υ))－υg(r)e－r(S(t)－S(υ))－(t－υ)g(r)Fsυ］

=Mu(υ)・E［e－r(S(t)－S(υ))－(t－υ)g(r)Fsυ］

=Mu(υ).

即结论得证.

引理6 T是Fs停时［6］.

引理7 设{Ni(t),t≥0}是参数为(λi,ρi)(i=1,2)的复合Poisson-Geometric过程,记αi=λi(1－ρi)ρi(ρi=0时， αi=λi)(i=1,2),则当t足够小时有［1］

Pr {Ni(t)=0}=e－λit=1－λit+o(t),

Pr{Ni(t)=k}=αiρkit+Ai(k)o(t),k=1,2,…,

其中Aik(t)=ρki+(k-1)［ρi(1+αit)］k-2,o(t)与k无关,且∑∞k=0Aik(t)一致收敛(i=1,2).

定理1 记fρ1(y)=∑∞k=1(1-ρ1)ρk-11f*kY(y),

fρ1(z)=∑∞k=1(1-ρ2)ρk-12f*kZ(z),则风险模型的生存概率φ(u)满足下列积分方程：

(λ+λ1+λ2)φ(u)=λ∫

+λ1∫u0φ(u－y)fρ1(y)dy

+λ2∫u0φ(u－z)fρ2(z)dz. (1)

特别地,若保费额{Xi,i≥1}服从参数为a的指数分布,而索赔额{Yi,i≥1},{Zi,i≥1}分别服从参数为b,c的指数分布,则

φ(u)=1－(a－Λ2)(λ1+λ2)a(λ1+λ2)－Λ2(λ+λ1+λ2)eΛ2u.

其中

Λ2=－［λ(b+c)－λ1(a－c)－λ2(a－b)］－Δ2(λ+λ1+λ2),

b=(1－ρ1)b,c=(1－ρ2)c,

Δ=［λ(b+c)－λ1(a－c)－λ2(a－b)］2

－4abc(λ+λ1+λ2)(λa－λ1b－λ2c).

证明 由全概率公式及引理7,有：

φ(u)=［1－(λ+λ1+λ2)dt+o(dt)］φ(u)

+∑∞k=1∫u0φ(u-y)dF*kY(y)［α1ρk1dt

+A1k(dt)o(dt)］+∑∞k=1∫u0φ(u-

z)dF*kz(z)［α2ρk2dt+A2k(dt)o(dt)］

+［λdt+o(dt)］∫

经整理,得

［(λ*+λ1+λ2)dt］φ(u) =∑∞k=1∫u0φ(u-

y)f*kY(y)dy［α1ρk1dt+A1k(dt)o(dt)］

+∑∞k=1∫u0φ(u-z)f*kz(z)dz［α2ρk2dt+A2k(dt)o(dt)］

+λdt∫∞0φ(u+x)dFX(x)+o(dt).

而0≤ρi＜1(i=1,2),则由引理7知∑∞k=1ρk1f*kY(y),∑∞k=1ρk2f*kz(z),∑∞k=1A1k(dt)f*kY(y)及∑∞k=1A2k(dt)f*kZ(z)均一致收敛,所以

［(λ*+λ1+λ2)dt］φ(u) =

∫u0φ(u-y)(∑∞k=1α1ρk1f*kY(y)dtdy

+∫u0φ(u-z)(∑∞k=1α2ρk2f*kz(z)dtdz

+λdt∫∞0φ(u+x)dFX(x)+o(dt).

又因为αi=λi(1－ρi)ρi(i=1,2),故

［(λ+λ1+λ2)dt］φ(u)=

λ1dt∫u0φ(u－y)fρ1(y)dy

+λ2dt∫u0φ(u－z)fρ2(z)dz

+λdt∫∞0φ(u+x)dFX(x)+o(dt).

上式两边同时除以dt,并令dt0,即得式(1).

因为Yi,Zi分别服从参数为b,c的指数分布,则f*kY(y),f*kZ(z)是参数分别为k,b和k,c的Gamma密度函数,即

f*kY(y)=bkyk-1(k-1)!e-by,

f*kZ(z)=ckzk-1(k-1)!e-cz.

所以

fρ1(y)=∑∞k=1(1-ρ1)ρk-11f*kY(y)=be－by,

fρ2(z)=∑∞k=1(1-ρ2)ρk-12f*kZ(z)=ce－cz.

又FX(x)=1－e－ax,且由文献［7］知φ(u)具有可微性,故对式(1)两边关于u求导,得

(λ+λ1+λ2)φ′(u)=aλ∫∞0φ(u+x)dFX(x)

－bλ1∫u0φ(u－y)fρ1(y)dy－cλ2∫u0φ(u－

z)fρ2(z)dz+(bλ1+cλ2－aλ)φ(u). (2)

式(2)两端对u再求导,可得

(λ+λ1+λ2)φ″(u)=a2λ∫∞0φ(u+x)dFX(x)

+b2λ1∫u0φ(u－y)fρ1(y)dy+c2λ2∫u0φ(u－

z)fρ2(z)dz-(a2λ*+b2λ1+c*2λ2)φ(u)

+(bλ1+cλ2－aλ)φ(u). (3)

式(3)两端再对u求导,得

(λ+λ1+λ2)φ(u)=a3λ∫∞0φ(u+x)dFX(x)

-b3λ1∫u0φ(u－y)fρ1(y)dy-c3λ2∫u0φ(u－

z)fρ2(z)dz+(b*3λ1+c3λ2－c3λ*)φ(u)

-(a2λ*+b2λ1+c*2λ2)φ′(u)

+(bλ1+cλ2－aλ)φ″(u). (4)

由式(1)~(4)式,得

(λ+λ1+λ2)φ(u)+［λ(b+c)

－λ1(a－c)－λ2(a－b)］φ″(u)

+(λbc－λ1ac－λ2ab)φ′(u)=0.

其对应的特征方程为：

(λ+λ1+λ2)Λ3+［λ(b

+c)－λ1(a－c)－λ2(a－b)］Λ2

+(λbc－λ1ac－λ2ab)Λ=0.

解得：

Λ0=0,

Λ1=－［λ(b+c)－λ1(a－c)－λ2(a－b)］+Δ2(λ+λ1+λ2),

Λ2=－［λ(b+c)－λ1(a－c)－λ2(a－b)］－Δ2(λ+λ1+λ2),

其中

Δ=［λ(b+c)－λ1(a－c)－λ2(a－b)］2

－4abc(λ+λ1+λ2)(λa－λ1b－λ2c)＞0.

所以φ(u)=C0+C1eΛ1u+C2eΛ2u,由φ(∞)=1,得C0=1,而Λ1＞0,Λ2＜0,因此C1=0,即φ(u)=1+C2eΛ2u,代入式(1),并令u=0,得

(λ+λ1+λ2)(1+C2)

=λ∫

=λ+aλC21a－Λ2.

解得C2=－(a－Λ2)(λ1+λ2)a(λ1+λ2)－Λ2(λ+λ1+λ2).

所以

φ(u)=1－(a－Λ2)(λ1+λ2)a(λ1+λ2)－Λ2(λ+λ1+λ2)eΛ2u.

定理2 风险模型的最终破产概率满足Lundberg不等式ψ(u)≤e－Ru.其中R=sup r＞0{r:g(r)≤0}.

证明 因为T是Fs停时,选取t0＜

e－ru=Mu(0)=E［Mu(T∧t0)］

=E［Mu(T∧t0)|T≤0］Pr {T≤t0} +E［Mu(T∧t0)|T＞t0］Pr {T＞t0}

≥E［Mu(T∧t0)|T≤t0］Pr {T≤t0}

=E［Mu(T)|T≤t0］Pr{T≤t0}. (5)

而当T＜∞时,有u+S(T)≤0,所以e－r(u+S(t))≥1,故

Pr {T≤t0}≤e－ruE［Mu(t)|T≤t0］

≤e－ruE［e－Tg(r)|T≤t0］

≤e－rusup 0≤t≤t0etg(r).

上式两端令t0

r＞0{r:g(r)≤0},即证结论.

定理3 风险模型的最终破产概率为

ψ(u)=e－RuE［e－RU(T)|T＜∞］，

其中R为调节系数.

证明 在式(5)中取r=R,有

e－Ru=E［e－RU(T)|T≤t0］Pr{T≤t0}

+E［e－RU(t0)|T＞t0］Pr {T＞t0}. (6)

以I(A)表示集合A的示性函数,则

0≤E［e－RU(t0)|T＞t0］Pr {T＞t0}

=E［e－RU(t0)I{T＞t0}］

≤E［e－RU(t0)I{U(t0)}］.

由于0≤e－RU(t0)I{U(t0)≥0}≤1,且由强大数定理知当t0∞,U(t0)∞,P－a.s.,故由控制收敛定理,有

lim t0∞E［e－RU(t0)|T＞t0］Pr {t＞t0}=0,P－a.s,于是在式(6)两端令t0

定理4 风险模型在有限时间内的生存概率φ(u,t)满足下列偏积分―微分方程：

φ(u,t)u+(λ+λ1+λ2)φ(u,t)

=λ∫∞0φ(u+x,t)dFX(x)+λ1∫u0φ(u

－y,t)fρ1(y)dy+λ2∫u0φ(u－z,t)fρ2(z)dz.

证明 类似于定理1,由全概率公式及引理7,有：

φ(u,t)=［1－(λ+λ1+λ2)dt

+o(dt)］φ(u,t－dt)+［λdt+o(dt)］

∫∞0φ(u+x,t－dt)dFX(x)

+∑∞k=1∫u0φ(u-y,t-dt)dF*kY(y)［α1ρk1dt

+A1k(dt)o(dt)］+∑∞k=1∫u0φ(u-z,t

-dt)dF*kZ(z)［α2ρk2dt+A2k(dt)o(dt)］.

即

φ(u,t)－φ(u,t－dt)=－［(λ+λ1+

λ2)dt］φ(u,t－dt)+λdt∫∞0φ(u+x,t

－dt)dFX(x)+∑∞k=1∫u0φ(u-y,t-dt)f*kY(y)dy

［α1ρk1dt+A1k(dt)o(dt)］+∑∞k=1∫u0φ(u-z,t

-dt)f*kz(z)dz［α2ρk2dt+A2k(dt)o(dt)］

=-(λ+λ1+λ2)dtφ(u,t-dt

+λ*dt∫∞0φ(u+x,t－dt)dFX(x)

+∫u0φ(u-y,t-dt)(∑∞k=1α1ρk1f*kY(y)dtdy

+∫u0φ(u-z,t-dt)(∑∞k=1α2ρk2*kZ(z)dtdz+o(dt)

=－［(λ+λ1+λ2)dt］φ(u,t－dt)

+λdt∫∞0φ(u+x,t－dt)dFX(x)

+λ1dt∫u0φ(u-y,t－dt)fρ1(y)dy

+λ2dt∫u0φ(u－z,t－dt)fρ2(z)dz+o(dt).

上式两边同除dt,再令dt0,得

φ(u,t)u+(λ+λ1+λ2)φ(u,t)

=λ∫∞0φ(u+x,t)dFX(x)

+λ1∫u0φ(u－y,t)fρ1(y)dy

+λ2∫u0φ(u－z,t)fρ2(z)dz.

4 小 结

本文研究保费收入为复合Poisson过程且索赔次数为复合Poisson-Geometric过程的双险种风险模型,给出了生存概率满足的积分方程及其在指数分布下的具体表达式,并利用鞅方法得到了最终破产概率满足的一般公式和Lundberg不等式,同时导出有限时间内生存概率的积分―微分方程.复合Poisson-Geometric过程是Poisson过程的推广,它不仅保留了Poisson过程的诸多良好性质譬如独立增量性,而且很好地解决了Poisson过程中方差与均值相等,即散度偏大的问题,从而可以更好的刻画风险过程,更重要的是复合Poisson-Geometric过程是在保险公司的实际赔付政策(免赔额制度和无赔款折扣(NCD)制度)的背景下提出的,它与保险公司的保费政策、赔付政策紧密相关,有着更具体更实际的应用背景,此外近年来随着保险公司经营规模的日益扩大及新险种的不断开发,必然导致多元化经营,因此对双险种的复合Poisson-Geometric风险模型进行系统而完善的研究无疑是非常有意义的.参考文献

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