利用一题多解培养学生对高等数学的学习兴趣

【摘要】在教学过程中，在学生处于不同的学习阶段，针对同一问题，分别给出了三种不同的证明方法，引导学生在知识更新后，对已解决的问题进行再思考，寻求更多的方法，以达到调动学生学习的积极性、主动性以及提高学生学习高等数学课程的兴趣的教学效果。

【关键词】定积分 多重积分 H・lder不等式 柯西-施瓦兹不等式

【基金项目】伊犁师范学院一般项目（2012YB016）

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2012）10-0083-01

高等数学是非数学专业的很多理、工、经管各专业必修的一门数学课程，本课程的教学效果和质量直接影响各专业学生后续相关专业课程的学习，最终也必将影响着高等教育人才培养的质量。跟初等数学相比，高等数学是一门高度抽象、逻辑严密的课程，针对大一新生开设的课程，学生开始刚刚接受抽象的内容，此外，若再碰到具有较强技巧性的习题的时候，通常会让很多学生都难以理解和接受，使得学生丧失学习高等数学的兴趣，这在一定程度上会影响高等数学的教学效果和质量。这样，在高等数学教学过程中，如何培养学生的学习兴趣，调动学生学习的积极性和主动性，进而提高教学效率，是高等数学教学方法改革的一个重要研究课题。

笔者在第一次高等数学课程的教学过程中，很多学生会在课后辅导中询问问题[1]的证明方法。

问题：设f（x）在[0，1]上连续，试证明：

f（x）dx≥f（x）dx 。

事实上，在教材的附录中有证明提示，虽然大部分学生能够在提示的基础上证明该题，但是学生感觉该问题的证明方法不容易理解和接受。因此很多学生提出是否有其它简单和容易接受的方法。几次尝试下来无果后，便失去了兴趣，在后续的课程学习中也慢慢被抽象的概念和特殊的技巧消磨了最后的一点好奇心。在接下来的教学过程中，笔者开始思考证明该问题的其它方法，琢磨培养学生学习高等数学兴趣的方法。

在课堂教学后，我们抛开了教材前五章的知识点，尝试寻求其它的证明方法，尝试进一步理解该题目的几何背景，我们得到了如下的三种新的证明方法，得到了该题目的几何背景和其为H？ilder不等式或柯西-施瓦兹不等式的一种特殊情形的结论。接下来，为了论文的完整性，我们先给出具体的证明方法如下。首先给出证明方法需要用到的引理。

引理1.如果在区间[a，b]上，f（x）≥0，则

f（x）dx≥0 （a

引理2.（ H？ilder不等式）设1≤p，q≤∞，+=2若u∈Lp（？萃），v∈Lq（？萃）则有uvdx≤uvL（？萃），其中？萃∈Rn的有界开集。

方法一、设f（x）dx=a，则有定积分的性质（引理1）可得：

[f（x）-a]2dx≥0，即：

[f（x）-a]2dx

=f2（x）dx-2af（x）dx+a2

=f2（x）dx-f（x）dx≥0

得证。

该方法有较强的技巧性，即上述计算过程中2af（x）dx和a2可以合并成一项，这样导致大多数学生不能思考出问题的证明方法。

方法二、对于不等式的右边，我们可做如下的处理：

f（x）dx=f（x）dxf（x）dx

=f（x）dxf（y）dy=f（x）f（y）dxdy

≤dxdy=f2（x）dx

得证。

该方法要用到二重积分[2]的知识和一个在高中数学经常用到的不等式，该方法可以帮助学生从重积分的几何背景的基础上进一步理解该问题的几何背景。此外，该方法还可以帮助学生理解定积分中换元法的重要性。

方法三、因为f（x）为闭区间上的连续函数，所以f（x）有界，可知：f（x）属于L1[0，1]和L2[0，1]。进一步假设u（x）=f（x），v（x）=1在H？ilder不等式[3]中取p=q=2，可得：

f2（x）dx1dx≥f（x）dx≥f（x）dx

容易得结论。该方法说明了问题是特殊的H？ilder不等式。

另一方面，因为f（x）在[0，1]上连续，所以f（x）属于欧氏空间 C[0，1][4]，其上的内积定义为：

=f（x）g（x）dx。

进而由柯西-施瓦兹不等式可得：

≤，整理也可得结论。

在后期的教学过程中，笔者尝试将该习题当作本章总复习时的例题，首先在课后附录提示的基础上完善教材中证明（方法一），讲解了问题的技巧所在。此外，让学生思考该问题的证明方法。并提醒学生该问题具有一定的几何背景，但是需要其它的高等数学知识。最后，给学生留下时间去思考问题的几何背景，以达到促使学生继续学习新知识的动力，进一步提高学习的积极性和主动性。

在后面的教学过程中，经常有学生询问是否已经学习了能解决问题的知识。这样可以看出，我们的尝试取得了较好的教学效果。

参考文献：

[1]同济大学数学系，高等数学（上册）[M]，高等教育出版社，2007年4月。

[2]刘玉琏，傅沛仁，林玎，苑德馨，刘宁，数学分析讲义[M]，高等教育出版社，2003年7月。

[3]匡继昌，常用不等式[M]，山东科技出版社，2004年10月。

[4]张禾瑞，郝新，高等代数[M]，高等教育出版社，2007年6月。