螺线管内外空间磁场的解析

224005盐城纺织职业技术学院徐宗武

[摘 要]针对普通物理学建立的模型不能说明无限长载流密绕螺线管外的磁感强度不为零的问题，建立与实际更加接近的新螺线管模型，进而计算出螺线管全空间的磁感强度

[关键词]螺线管磁感强度全解

1 问题的提出

在求解载流直螺线管内、外磁场时，几乎每种普通物理教材都将螺线管看成一串共轴的圆电流组成，这些圆电流彼此绝缘不相通。计算表明这种模型的载流螺线管外面的磁场为零，因此磁感应强度的环流亦等于零；而实际绕制的螺线管，不是独立的圆形导线组成的，外绕一周的环路内有电流I通过，按安培环路定理有： 。由此可见，一般教材上关于螺线管的模型要改变，本文试图建立与实际更加接近的螺线管模型，进而准确地计算出其全空间的磁感应强度的大小和方向。

2 分析

实际的螺线管中电流是沿管面螺线流动的。设该螺线管是由薄条形导线（横截面是窄矩形）密绕而成（如导线横截面是圆形，结果一样），如图1。

图1

如果导线的宽度为d，螺线管的直径为D，则螺线管任一段管壁展开如图2，其中通过垂直电流方向单位长度的电流——电流密度j及其平行与轴线的分量 和垂直与轴线的分量 为：

图2

以螺线管轴线为Z轴，设柱面坐标系如图3。空间任一点p处的磁感应强度B分解为 、 和 。根据对称性可知道：（1）在全空间，B应与 无关；（2）因为螺线管无限长，在全空间B应与Z无关，即B（ρ， ，Z）=B (ρ),B只与ρ有关。

图3

3计算

（1）管内磁场。计算 ：在垂直Z轴的平面内，以Z轴上某点为圆心，作半径为ρ（ρ

所以，在管内 =0。即磁感应现在通过Z轴的平面内。由于对称性，与Z轴平行的直线上（如ab线）的磁场方向相同即磁感应线彼此平行。又因为Z轴上磁感应线方向相同即磁感应线彼此平行。又因为Z轴上磁感应线方向沿Z轴，所以在管内磁感应线必与Z轴平行，否则磁感应线要相交。至此，再选abmn矩形环路，用安培环路定理，可以证明管内磁场是均匀的。由毕——萨定律证明，在Z轴上的磁感应强度为：

所以在螺线管内的磁感应强度为：

（2）管外磁场。计算 ：将安培环路定理用于图3中abcd矩形回路，其中ab=cd=l，环路所包围的电流等于 ，故：

因(1)中求出管轴内磁感应强度 ，所以， 由于对称所以 =0，即在管外 =0。下面计算管外 ：以Z为中心轴，作一长为l，半径为 的圆筒形闭合面S，参见图3。由磁场中“高斯定理”有：

其中等号右边前两项和为零，第三项为

故 =0

再计算管外 ：在垂直Z轴的平面内，以Z轴上的某点为圆心，作半径为 的圆形闭合曲线L,则环路L所包围的电流为 （参见图3），故安培环路定理表示为：

这就解决了开始提出的问题。

4 总结

实际的螺线管导线中的电流密度可分解成两个分量，一个分量 沿管壁垂直于管的轴线，而形成螺线管内部磁场；另一个分量 沿管壁平行于管的轴线，形成管状电流，而产生螺旋管外部磁场，其中:

这个结论与一般普通物理教科书是不同的。当d《D 时，管内磁感应强度表达式与一般教材中表达式的意义是相同的，但管外磁场仍存在，且不能忽略。