例谈整体思想在数学解题中的运用

摘 要：D・希尔伯特说：数学的源泉就在于思维与经验的反复出现的相互作用． 解数学题时，学生的思维习惯往往从问题的局部入手处理问题，常常导致某些题解题过程繁杂、运算量大，甚至半途而废． 事实上，有很多数学问题，如能纵观全局，巧妙利用整体思想对问题实施调节与转化，通过整体代入、整体换元、整体变形、整体构造等方式，常常能使问题化繁为简，变难为易，快速获解，提高解题效率．

关键词：整体思想

解数学题时，学生往往习惯于从问题的局部入手处理问题，常常导致某些题解题过程繁杂、运算量大，甚至半途而废． 事实上，有很多数学问题，如能纵观全局，利用整体思想对问题实施调节与转化，通过整体代入、整体换元、整体变形、整体构造等方式，常常能使问题快速获解，提高解题效率．

■整体思想在函数中的运用

在解有关函数问题时运用整体思想，主要体现在运用函数性质求值、求特定函数的最值以及抽象函数的有关问题中，解题时，将函数的某一部分看做整体，有时，可以起到“柳暗花明又一村”的作用．

例1 已知f（x）=x5+ax3+bx－8，且f（-2）=10，求f（2）．

分析与解：将f（-2）看做整体，设g（x）=f（x）+8=x5+ax3+bx，

则g（x）是奇函数． 所以由g（2）= －g（-2），有

f（2）=g（2）－8=－g（-2）－8=－［f（-2）+8］－8=－26．

点评：就本题而言，通常情况下，要求f（2）的值，必先求出f（x）的解析式，但由已知条件是求不出的． 观察到x5+ax3+bx=f（x）+8是奇函数，将其看做一个整体，运用奇函数的性质，直接解题．

例2 求函数y=■（x∈R）的最小值．

分析与解：常规思路，由均值不等式，有y=■=■+■≥2，当且仅当■=■，即x2=－3时等号成立，这显然是不可能的．说明利用均值不等式中的等号成立无法求出最小值，必须转换思维，另辟蹊径．

注意到■与■的关系，尝试整体配方：?摇

y=■－■2+2，

因为■≥■，－■≥ －■，

所以■－■2≥■，

所以y≥■+2=■，

当且仅当x=0时等号成立，故y的最小值是■．

点评：本题中整体配方后，视■－■为一个新的整体，就可以求出此函数最小值． 在高考中，根据问题的特征，灵活运用整体配方，常常能出奇制胜．

■整体思想在三角中的运用

在解有关三角函数问题时运用整体思想，主要体现在化简求值，研究三角函数的定义域、值域、单调性、最值等方面． 解题时，如果能够在善于观察题目的整体结构特征和数量关系的基础上巧妙地运用整体思想，往往能够达到变多为少、化繁为简、化难为易的目的．

例3 求sin220°+cos280°+■・sin20°・cos80°的值．

分析与解：设A=sin220°+cos280°+■sin20°・cos80°，配B=cos220°+sin280°+■cos20°・sin80°，所以A+B=2+■cos10°，A－B=－■－■cos10°，所以A=■，即sin220°+cos280°+■sin20°・cos80°=■．

点评：对某些问题，根据其本身的特点，将原问题（或原问题的某一部分）视做一个整体，记作A，然后构造一个与A相对应的式子B，通过研究A与B间的关系，达到解题目的．

■整体思想在不等式中的运用

在解不等式问题时运用整体思想，将题设或结论视为整体，通过对整体结构的调节或转化，可以简化运算、降低思维难度、缩短推证过程．

例4 证明：■・■・…・■

分析与证明：设A=■・■・…・■，则

A

即A2

即■・■・…・■

点评：通过整体转化，展现了数学方法的魅力，并在此过程中培养学生的创造能力和求新意识．

■整体思想在立几中的运用

在立体几何中，可以通过整体补形，将四面体补成正四面体或平行面体、正四面体补成正方体、过同一个顶点的三条棱两两垂直的三棱锥（或四面体）补成长方体、四棱锥补成平行六面体；也可以通过整体展开，将立体图形展开为平面图形，通过平面图形的研究来解决立体几何中的表面积问题、沿表面行走路径最短问题、包装问题、剪裁问题、制作问题等．

例5 如图1，在三棱锥P－ABC中，三组对棱相等，且PA=13，PB=14，PC=15，求其体积．

■

图1

分析与解：按常规解题思路是求底面积和高，底面积可用海伦公式求出，但顶点到底面的高无法作出，自然无法求出． 注意到三组对棱相等这个已知条件，在长方体中对面不平行的对角线也具有这种性质，因此可以将此三棱锥P－ABC补成如图2所示的长方体．

设AD=x，AE=y，AF=z，则

x2+y2=142，y2+z2=152，x2+z2=132，

解得x=■，y=■，z=■，所以V三棱锥P-ABC=V长方体AFPD-EBGC－4V三棱锥A-BCE=xyz－4×■×■xyz=■xyz=42■．

■

图2

点评：通过运用整体思想将三棱锥补成一个长方体，从而使问题简便快捷地得到解决．

■整体思想在解几中的运用

在解析几何中，在求解某个量的过程中，可能要借助其他的量，对于这些辅导量，我们只是表示出而不必具体求出，这就是“设而不求”的思想方法，其实质也是一种整体代换思想．

例6 求证：椭圆■+■=1和双曲线x2－15y2=15的交点处的切线互相垂直．

分析与证明：设P（x0，y0）是两曲线的一个交点，显然y0≠0，则在点P处有

椭圆的切线方程为■+■=1，斜率k1=－■；

双曲线的切线方程为x0x－15y0y=15，斜率k2=■．

又点P在两曲线上，有■+■=1，x■-15y■=15?圯■ = ■，

所以k1k2=－■×■=－■×■×■=－1，

所以在交点处的两曲线的切线互相垂直．

点评：这里所设的点的坐标P（x0，y0）并未求出，但它起到桥梁作用，这种方法在解析几何中经常用到，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的运用．

■整体思想在数列中的运用

在解有关数列问题时运用整体思想，主要是借用数列的性质，挖掘内在联系，沟通已知与未知间的关系，轻松解题．

例7 已知等差数列｛an｝，｛bn｝，■=■，求■．

分析与解：由已知条件无法直接求出a5与b5，因此，按常规解法难以解决问题，若将其看成一个整体，挖掘■与■=■的关系，有

■=■=■=■=■=■=■．

点评：本题借助等差中项的概念及等差数列的前n项和公式中的内在联系是关键．

■整体思想在复数中的运用

解复数问题时学生往往不加分析地用复数的代数形式或三角形式解题．这样常常给解题带来烦琐的运算或解题思路受阻． 运用整体思想，主要体现在利用复数性质，特别是利用模与共轭复数的性质，充分利用复数的整体性质可以更好地把握住复数问题的整体结构和整体特征，从而使问题的处理更为简洁方便． 因此，有必要提炼和强化整体处理的思想方法，提高学生解题的灵活性及变通性．

例8 设复数Z1和Z2满足关系：Z1・■+■・Z1+A・■=0，其中A为不等于0的复数，证明：Z1+A■+■=A2．

分析与证明：此题若设Z1=a1+b1i，Z2=a2+b2i，A=c+di，（a1，b1，a2，b2，c，d∈R），解题将陷入“绝境”．

由原关系式，整体构造，得Z1・■+■・Z1+A・■+A・■=A・■，

即（Z1+A）・（■+■）=A・■，由复数性质，得Z1+A■+■=A2．

点评：解答复数问题，应注意从整体上观察分析已知条件的结构特征，挖掘问题潜在的特殊性和简单性，充分利用复数的有关概念、复数的几何意义以及一些变形技巧，对问题进行整体化处理，可提高综合应用知识的能力．

■整体思想在向量中的运用

在解有关向量问题时运用整体思想，主要是挖掘向量的几何意义，整体构造图形，巧妙解题．

例9 已知点O在ABC内部，且有■=4■+5■，则OAB与OBC的面积之比为________．

分析与解：初看已知条件，有无从下手之感． 将■=4■+5■改造为■+■=5■+5■，由几何意义整体构造如图3所示的图形，所以SOAB=SOBE，SOBC=SOBD．

又OE=5OD，所以SOBE=5SOBD，即SOAB=5SOBC，

所以SOAB∶SOBC=5∶1．

总之，用整体思想解题不仅可以简洁明快地解题，而且可以发掘学生的创造潜能． 因此在教学中，我们要有目的、有计划地对学生加强整体思想的渗透和训练，帮助学生克服过早进入问题的枝节的习惯，避免“只见树木、不见森林”的思维方式，由此可以提高学生解题能力，优化学生的思维品质．