代数应用题视觉化表征的理论模型及影响因素

摘要：视觉化表征是代数应用题表征的一大类型，在问题解决过程中起着重要作用。视觉化表征的理论主要有视觉-逻辑二维模型、理解-转换模型、表象表征理论和图式-图像表征论。四种理论模型各有其特殊的方法学意义。代数应用题的视觉化表征主要受到题目视觉化程度和认知负载等刺激因素以及自我效能感等认知因素的影响，最后，本文指出了在代数应用题视觉化表征理论、研究方法和影响因素探索中的进步以及发展空间。

关键词：代数应用题；视觉化表征；表象表征；图式表征；图像表征

分类号：G44；B844

1　引　言

通过个体的问题解决能力来推测其认知发展特点及趋势，是认知心理学长期以来的重要任务。数学问题以其严密的逻辑成为了反映个体思维水平的重要手段，其中，代数应用题是研究者公认的最难解题型之一(Reed，1999)。代数应用题是指求解过程须在陌生情境中舍弃非本质要素，理解分析其中的逻辑数量关系的一类有实际背景或问题有实际意义的数学问题。美国心理学家Mayer(1981，1982)使用加州公立中学课本的1100道代数应用题，分析得出了代数应用题的基本结构，即由四种命题构成：赋值命题――给变量进行赋值；关系命题――对变量之间的关系作出界定；问句命题以及相关事实。其中起关键作用的是关系命题。可见，代数应用题的本质是通过关系词将几个集合进行联系。它要求个体对集合关系进行理解，就必然要求个体具备理解问题情境的能力，阅读文字材料的能力，以及逻辑演绎推理能力。剖析其解题的心理过程，就是对个体思维能力的分解，有利于掌握个体思维发展的规律；同时，可以找出造成解题水平高低的关键要素，从而为数学学困生的数学学习提供有力的干预措施。

20世纪80年代，认知心理学逐渐关注代数应用题这类涉及特定知识背景的问题解决研究(辛自强，2003)。发现对其集合关系的理解体现在对题目信息的编码转换过程中，称之为对问题的心理表征(Kintsch，&Greeno，1985)。心理表征是指在已有认知结构的基础上，将外部信息以自己独特的方式或形式组织起来，并建构出一定的结构和意义(仲宁宁，陈英和，张，2008)。它决定了对子目标的组织，即决定了完成运算的顺序(Thevenot&Oakhill，2008)。这种建构过程，可发展为。种储存于长时记忆中的自动化图式，在探索同类或相似问题时会很快被激活，从而提高解题速度与正确率。

然而，个体对代数应用题的内部表征存在于两个系统：符号概念系统与视觉一空间表象系统(Krutetskii，1984)。其中，有关个体如何使用视觉化表征解决代数应用题的探索，已成为认知发展研究的重要组成部分。由于人的视觉不仅是在生理水平上获取应用题信息的主要渠道，也是在心理水平上帮助个体“看到”不在视力范围内的客体从而获取信息的有力途径。因此视觉既是名词――一种神经功能的产物，又是动词――一种认知加工活动(Aracvi，2003)。从视觉的心理水平界定视觉化表征(zimmermann&cunningham，1991)是指：基于头脑中(或使用工具)产生的图片、形象和图表对问题进行反映和解释的过程：个体以此来描述和交流信息，思考和挖掘不懂的观点并加强对问题的理解。例如，“从公路的一端开始向路另一端植树，每隔5米种一棵树，路长15米，共需要种几棵树?”，通过视觉化表征可将题目中的数学关系简化为图1。

视觉化表征作为较新颖的表征方式，不仅在代数应用题的信息加工过程中至关重要，在儿童思维能力的发展中也有重要意义。首先，代数应用题有其固定结构，视觉化表征能有助于主体快速形成清晰的问题空间，把握应用题的关系命题。由于主体认知加工系统本身的系列性特点以及短时记忆的局限性，问题解决者在特定时间内，只能关注当前的问题状态而不能对问题空间进行操作(陈英和，1996)，视觉化表征的突出特点就是直观体现初始状态的逻辑层次关系。将问题的初始状态、目标状态和中间状态连成一体，在关注状态的同时对问题空间进行操作。尤其在遇到难题或新颖情境时，可将题目中的复杂信息用表象或图示等表达，弥补相关知识经验不足，把完成任务所需的重要成分集中起来。实现问题的创造性解决(Kaufmann，1986；Gilli Shama，1994)。Lowrie和Kay(2001)通过实验证明，学生多使用视觉化表征解决难题，非视觉化表征解决容易题：其原因在于图表和图片提供了对概念理解有帮助的附加信息。其次，言语编码具有能转换成视空间编码的特性(William＆Hayward，1995)。视觉化表征的出现是语言符号系统和空间表象系统不断发展完善的体现，二者相互作用从而推动思维能力不断向前发展。因此，在整个数学教育的过程中，视觉化表征能力的训练也是一项培养综合思维能力的有效手段，对数学学困生的干预研究有重要启发意义。最后，视觉化表征能力是智力发展的一个重要标志。有研究者将视觉化表征看作较高水平的认知加工，因为它能提供问题的背景系统，是一套使功能更通达的认知过程。当被试能够完整呈现视觉化表征时，表征能力应该向前推进了一个发展阶段(PMe&Kieren，1992)。

2　视觉化表征理论及其评论

通过整合近30年来的实证研究，对于代数应用题的视觉化表征这一现象，可以归纳出如下四种解释理论，它们立足于不同的角度―见觉-逻辑二维模型，从个体差异入手，首次将视觉化表征从诸多表征中剥离出来，具有里程碑式的意义；理解一转换模型，强调视觉加工能力，分析其在数学教学过程中的作用；表象表征理论，进一步对视觉加工能力进行分类；图式，图像表征理论，分析空间能力和表象表征之间的关系，以此探索视觉化表征与成功解题的关系。

2.1　视觉-逻辑二维模型

上世纪70年代，苏联心理学家Krute~kii凭借其对数学学习个体差异的深入研究。采用出声思维面试程序，详细分析和整理备份每个被试的思维材料，进而对数学能力水平和数学认知类型进行了区分。并认为数学能力水平上的差异主要由思维的言语，逻辑成分决定。而数学认知类型上的差异主要由思维的视觉，图像成分，以及个体对这种思维成分的喜爱程度共同决定。因此，言语表征和视觉化表征对数学问题解决的影响是相对独立，但又互相影响的。Krutetskii提出了视觉-逻辑二维模型，横轴代表在解决数学问题中逻辑或分析思维强度，纵轴代表视觉-图像思维偏好程度。他认为，仅凭视觉能力高不足以保证个体会偏好使用视觉方法，语言或推理成分才是成功解决数学问题的决定性因素(如图2)。Presmeg(1985)确认，可将高中个体的数学思维归入此四个象限中，进一步支持了Krutetskii的模型。另外。Varley等人对3名不能正确理解语法

的失语症病人研究发现。病人理解“狮子”、“捕食”和“人类”这三个词汇，却不能分辨“狮子捕食人类”和“人类捕食狮子”的不同，但给他们呈现类似的算式如"52-11”和“11-52”时，他们都能正确解答(Qiu，2005)。结果支持了该模型有关解决数学问题中视觉化表征和言语表征两个维度的分离。

然而，Krutetskii关注数学天资，其研究基于对34名优秀高中生数学问题加工过程的考察。初衷在于说明数学逻辑思维是数学学习的基本能力，视觉图像思维是数学学习的高级能力(Presmeg，1986b)。这使得模型结论片面，不能解释数困学生在解决数学问题时视觉化表征和言语表征的关系；其次，模型结构不饱满，未将视觉思维强度作为一个独立的维度考察，因而不能深入揭示视觉化表征在解题中的作用机制。

尽管如此，视觉-逻辑二维模型至今在数学教育研究中仍是宝贵财富。首先，它将视觉表象偏好这一维度看作是一个既能激活也能限制个体数学问题解决的连续体，偏好过度会使个体思维失去平衡，给解题带来阻碍。这一思路具有重要意义。正是在这种划分的前提下，才有了大量对代数应用题解决视觉化表征的专门研究(Moses，1980；Lean&Clements,1981；Michael，1990；Gilli Shama，1994)。另外，它启发后续研究对一些研究结果做出更精细的解释。例如，Lean和Clements(1981)发现，语言逻辑表征比视觉化表征的作用更大，空间能力和有关空间习惯的知识对数学问题解决均无影响。以二维模型进行解释，即视觉化表征并不遵循全或无原则，可能是语言逻辑的发展制约了视觉化表征的发展，而导致视觉化表征的偏好较低。更重要的是，这一模型奠定了该领域研究方法上的突破。1979年，澳大利亚研究者Suwarsono在该模型的启发下，将视觉化表征看作个体偏爱视觉表象或图表的程度。据此编制了数学问题解决量表――MPI(theMathematical Processing Instrument)，其选编代数应用题的原则是：题目既可用视觉化表征也可用非视觉化表征解决。该量表分为两部分，第一部分由30道代数应用题构成，第二部分记录的是对于上述每道应用题学生常用的几种不同解法，通常每题有三到五种解法。要求被试解决第一部分的问题，并描述采用的是第二部分的何种方法。若认为自己的解法不是其中的任何一种，就需要写出所用的方法并给出可能的细节。目前，该量表已在代数应用题表征研究中得到广泛使用。通过该测验，亦可测量学生在解决代数应用题时使用视觉化表征的程度，后有研究(Kozhevnikov，1999)只使用MPI中激活被试视觉空间想象能力为主的应用题，如行车相遇问题、沿线种树问题、铺地板问题等，以达到控制儿童的表征类型的作用。在我国，由于这一测验是根据澳大利亚小学6年级学生的数学发展水平制定的，研究者进行了修订(俞国良，曾盼盼，2003)。最后，Krutetskii在提出模型过程中以临床谈话法为基础所使用的出声思维法，也成为了研究代数应用题内部表征的经典范式。

2.2　理解-转换模型

20世纪80年代初，在认知研究与教育结合的思潮之下，对数学问题的视觉化表征研究作出突出贡献的是Bishop(Presmeg，1986b)。在他看来，心理学家关注的是为什么会出现认知能力的个体差异，而教育工作者则关心面对这些差异应该做些什么(Bishop，1980)。Bishop重点关注数学教育中视觉化表征的作用以及社会文化因素对这类表征的影响。1980年，他区分了两种视觉化表征能力：形象信息翻译能力“nterpreting figuralinformation，IFI)和视觉加工能力(visualprocessing，VP)。IFI是指个体在完成与各种图表有关的几何任务时所使用的视觉表征和空间词汇，它依赖于对内容和背景的理解，受刺激材料形式的影响；VP包括对抽象关系的翻译、将非视觉信息转换为视觉关系，以及操作和转换视觉表征和视觉表象的能力，它与刺激材料的形式无关。1983年，Bishop又提出了两个与VP有关的问题：1)视觉化能力是否可教?2)既然几何问题中的非视觉信息可以转换，那么代数中的非视觉信息是否可以转换，即视觉化能力是否可迁移(Presmeg，2008)?对于第一个问题，Lean和Clements(1981)已指出，形象刺激和非形象刺激都应当在教学中使用，以助视觉加工能力的发展；对于第二个问题，近十年来代数应用题解决的视觉化表征研究已为其提供了肯定的答案。由此可以得到一个解释代数应用题视觉化表征的较为完善的模型(如图3)。

难能可贵的是在皮亚杰思想风靡的时代，Bishop吸收了维果茨基的历史文化学观点(Mariotti，2002)，关注深层视觉化表征能力的培养如何在教育中实现。同时从思维的过程上看，该模型不仅体现了认知总过程中自下而上的串行加工，且在对视觉加工能力的剖析中揭示了具体环节上思维的并行加工，如“抽象关系的翻译”及“非视觉信息的转换”是分析一综合思维的过程：而“操作和转换视觉化表征”和“视觉表象”则是发散思维的过程。这种对思维和智力过程的信息加工分析很容易使我们获得对思维的直觉认知。

从方法上看。80年代西方测量学研究传统在数学教育和与之相关的自然科学教育领域逐渐让路给人本主义传统的质性方法学(Presmeg，1986b)。Bishop及其课题组创造性地将二者结合起来，探索什么样的教师能鼓励学生使用视觉化表征，哪些课堂内容能帮助学生克服困难并有选择的使用视觉加工的优势。首先，采用非参数方法设计了“视觉偏好”量表，据此筛选出13名高中数学教师及54名学生；然后，观察记录他们整个学年的数学课程情况，制作并转录了相关课程的108个录音：同时分别对教师和学生进行定期访谈，通过分析课堂内容和访谈获得每名教师培养学生视觉加工能力的具体手段(如教师要求学生用胳膊、手指或是身体动作表示表象中的运动成分等)；最后，依据质性分析结果将教师分为非视觉化教学组、中等水平和视觉化教学组进行统计分析(Presmeg，2006)。这种质性和量化皆用的方法，直到2000年后才深入人心。

2.3　表象表征理论

80年代末，Presmeg延续了导师Bishop的研究脉络，为了探讨视觉加工与数学问题解决之间的确切关系，进一步将视觉加工能力进行分类，提出了表象表征论(Presmeg，1986a)，划分了中学生在解决数学问题时常用的五类表象：1)具体图形表象(脑中出现具体图形轮廓)；2)模式表象(以视觉一空间格式勾勒出纯粹的关系)；3)运动知觉表象(包括运用手的运动和其他手势对表象进行心理操作)；4)动态表象(包括对几何图形的动

态转换)；5)对公式的记忆(将数学公式以视觉化的方式提取出来，进行问题解决)。这些类别往往重叠，如模式表象可能也是动态的。具体来说，一名4年级小学生以火柴摆长方形的方式实现3×2=6的过程，就是模式表象的使用；通过平移等腰梯形的上底再旋转一侧边转换得到平行四边形，就是使用动态表象表征的过程(见图4)(Owens，1998)。其中，Presmeg认为模式表象在问题解决过程中起关键作用，而具体图形表象会分散解题者的注意力，使解题过程拘泥于与推理无关的细节。

表象表征论对视觉化表征进行了更精细的划分，反映了思维活动的多样性。其指导思想在于体现思维发生发展所经历的阶段，如“具体图形表象”是具体形象思维的产物，“模式表象”则是抽象逻辑思维的产物。但由于思维活动具有复杂性，这两种思维之间可以互相渗透，都可以高度发展，从这个意义上，两种思维应该是平等的。因此针对该模型所认为的具体图形表象对解题有阻碍作用这一观点，有研究者提出了反对意见。Owens(1998)认为各类表象表征没有优劣，具体图形表象是解题的重要基础，用于创造、识别、命名图形和估计图形尺寸，以发展解题技巧。另外，这一模型的不足之处还在于对各类表象表征的定义和区分简单，界线也较为模糊，尤其在表象表征究竟是视觉的还是空间的这一问题上存有争议。有研究者(Farah，Hammond，Levine，&Calvanio，1988)通过对视觉表征缺陷的脑损伤患者施以视觉表征任务和空间表征任务，发现患者在视觉表征任务上存在严重缺陷，而在空间表征任务上表现正常。至此对于表象表征由视觉和空间两个独立子成分构成的假设呼之欲出。

2.4　图式-图像表征模型

20世纪90年代末至今，基于对空间能力究竟和视觉表象是什么关系以及两者在成功解决数学应用题上各自有什么作用这两个问题的思考，Kozhevnikov和Hegarty(1999)研究发现视觉化表征并非笼统的，而是由独立的视觉和空间成分组成。这一发现对视觉化表征是连续统一体的假设提出了挑战。他们将视觉化表征分为图式表征和图像表征两种，图像表征是指对客体外观的表征，如颜色、形状和亮度等。图式表征则是对单客体空间位置和多客体空间关系的表征。空间能力作为视觉化表征的一个子集，与图式表征有关而与图像表征无关。通过一系列测试得出图式表征与成功解题正相关，图像表征与成功解题负相关(如图5)。其解释认为，图式表征能反映应用题中的主要关系，而图像表征反映的是一些次要关系或无关信息。例：“在红色公交车上有9名儿童，绿色公交车上的儿童比红色车上的多6名，请问绿色公交车上有几名儿童?”，有两种视觉化表征的方式(Klaus&Hannover，2005)(见图6)，可明显看到图式表征反映抽象关系，而图像表征关注无关信息。

图式-图像表征模型正日臻完善，空间能力与图式表征的交集部分(见图5)已得到了深入分析(Kozhevnikov，Hegarty，&Mayer，2002)，证实高空间能力的视觉化者多建构图式表征并对它们进行空间操作，而低空间能力的视觉化者则依赖于具体图形解题。可见，这一模型从侧面展示了提高图式水平可以使思维活动的目的性更为明确，有助于选择正确的解题程序，提高解题正确率。但仍需指出的是，模型未能反映出空间能力在解决应用题过程中的独立作用。

然而。在该模型提出过程中对空间能力测量方法的贡献是不容小视的。由于Hegarty认为空间能力并不仅限于视觉形式，也可以通过听觉和触觉等方式表现出来，因此，他对于空间能力的测量考察了空间视觉因素和空间关系因素两个层面，空间关系因素涵盖了通过其他渠道来表现空间能力的情况。对于空间视觉因素，采用韦氏儿童智力测验(WISC-R)中的积木设计(blockdesign)，该测验要求被试将9块积木按主试的要求摆出来，共有难度渐增的11个样式。对于空间关系因素，采用的是主要心理能力测验(PMA)中的心理旋转子测验，被试的心理操作过程反映其对空间关系的理解。

目前。空间能力测量已发展成为研究代数应用题视觉化表征至关重要的部分。测查空间视觉因素的认知任务，常用视觉判断任务，即让被试对某种形态的客体和客体局部进行判断和分类，例如判断一个物体的典型颜色、对尺寸相似物体进行比较、对动物尾巴进行分类以及对地理轮廓进行判断等(Del Grande，1990)。测量空间关系的方法除了心理旋转任务之外，还有心理扫描任务；Gordon(1986)的认知分化成套测验(cognitiveliterality battery,CLB)也是可用手段之一，其中，空间能力测验包括定位测验(Localization)、三维旋转(Orientafion-3D)、木块连接(Touching Blocks)和图画完形(Form Completion)四部分，中文修订版维持了原量表的结构和功能(游旭群，季浏，翟群，苗丹民，王家同，皇甫恩，1996)。

3　视觉化表征的影响因素

运用视觉化表征解决代数应用题，受到刺激因素。主要包括代数应用题视觉化程度及其认知负载的影响，同时，除了元认知、场认知方式等一般认知因素外，还受到个体自我效能感的影响。这些因素对视觉化表征的预测和控制有着重要作用。

3.1　代数应用题视觉化程度

不同类型的代数应用题往往有不同的视觉化程度，视觉化程度是指题目是否涉及真实的空间关系以及解题时对表象的依赖程度，不同视觉化程度的应用题往往适合于不同类型的表征。如小学生解决比率和比较问题的适宜表征是言语表征，解决行程和种树问题的适宜表征是图形表征(郑琳娜，张奇，2007)。徐速(2005)将题目的视觉化程度作为一个研究变量，设计了视觉化(vP)和非视觉化(NVP)两组小学数学应用题，发现图式表征对两组问题的解决都有极大的促进作用，而图像表征严重阻碍非视觉化题目的解决，与视觉化问题的解决也没有显著相关。这一结果说明了图式表征是一种突出题目结构特征、减少记忆负荷的有效表征形式；也支持了Hegarty的理论，即图式表征与图像表征是分离的，不处于一个连续体上。

3.2　代数应用题认知负载

代数应用题认知负载是指题目中所包含逻辑层次的数量，体现为解题所需的步骤。目前对多步骤代数应用题的探索从顿悟问题的研究中。提取了一个新理论――表征变化理论(Thovenot＆Oakhill，2008)，该理论认为个体在解决问题过程中出现停顿，是因为他建构了一种成功可能性较小的内部表征，例如火柴算式问题，其目标是只移动一根火柴使原来错误的算式转换为正确的状态：从错误等式“Ⅵ=VII+I”变到正确等式“VII=VI＋I”，只需考虑数值变化，若仍以

这种表征思考等式“Ⅲ=Ⅲ＋Ⅲ”的变换则会出现僵局，因为后者需要对整个等式进行改变(Ⅲ=Ⅲ=Ⅲ)。只有变化这种表征，解决者才有可能克服这一停顿。成功转换表征的可能性依赖于两个过程，即抑制解除和组块分解。研究已经发现(Thevenot，2008)，5年级儿童为了减少加工对工作记忆的需求，会在解题过程中不断调整使用表征的类型。因此，对于多步骤代数应用题，需要各种表征同时参与，不能仅靠视觉化表征解决。

3.3　自我效能感

个体对解题的自我效能感也会影响在代数应用题中视觉化表征的使用。跨文化比较发现(Uesaka，Manalo，＆Ichikawa，2007)，新西兰学生比日本学生更能积极主动的运用视觉化表征来解题。最大的原因在于，新西兰的教育不仅强调理解图表的重要性，同时强调将图表作为一种交流数学知识的工具。从而鼓励学生发展使用图表等来表征和交流数学概念的自我效能感，提高了学生对视觉化表征使用的自主性。相反，日本的教育强调对图表的理解，但并不强调使用图表作为问题解决和交流工具的重要性。使得多数学生认为视觉化表征是教师专用的，降低了使用视觉化表征的自我效能，夸大了对问题难度的预期。

4　关于代数应用题视觉化表征的研究展望

综上可见，代数应用题视觉化表征的研究起步较晚，尚不系统，且该领域还有许多重要的问题有待进一步解决。通过对以上研究结果的回顾和分析，我们尝试对未来代数应用题视觉化表征的研究作出展望。

第一，虽然目前大量研究从不同角度支持新近研究成果――图式表征的优越性(van Garderen.2006；Vicente et a1.，2007；Orrantia&VerschaffeI.2008)，但图式表征和空间能力的交集会对代数应用题解决产生什么影响，还没有得到解答。另外，可尝试用更为综合的理论去解释视觉化表征。辛自强等人近年来在认知和数学心理学家Mayer和Kintseh二人研究基础上所提出的表征-关系复杂性模型，核心观点是代数应用题的集合关系复杂性会影响表征复杂性，对问题表征的质量应通过表征广度和深度两方面去衡量。这就启发我们思考关于视觉化表征的研究，也应结合代数应用题中集合关系的复杂程度去区分视觉表征和空间表征的广度和深度，以做出更为深刻的解释。

第二，出声思维法是代数应用题表征研究的典型方法，但这种方法要以打断解题者的思维活动为代价。Kirk和Ashcraft(2001)指出，出声报告不总是准确的，它能改变正常的心理加工过程，并最终将被试的注意力吸引到实验者的假设中来。近年来，眼动技术的发展弥补了这一方面的不足(van der Schoot，Arkema，Horsley，＆van Lieshout，2009)，该项技术旨在了解如何从被试具体的题目线索中建构其心理表征，注视时间长的题目元素被认为得到了更深的加工。其可贵之处在于，它可用于考察幼儿早期数认知能力与代数应用题视觉化表征能力之间的关系。然而，由于频繁回视和对某些元素的大量短时间注视，眼动技术对于精确了解哪种运算在解题过程中得到了使用仍然存在困难。而且，虽然在认知的不同领域中已有大量研究采用了这一技术，对代数应用题解决研究的方法仍然缺乏(Green，Lemaire.&Dufau，2007)。最近，为了避开这些潜在的方法偏差，有研究者构想出了一种新范式，这种范式利用了计算过程中记忆痕迹衰退这一事实，通过逐渐呈现题目信息并打断被试思考，让其对先前呈现的不同数字进行再认，利用在题目信息的不同位置干扰被试时，被试的再认时间和错误率来判断这些数字是已经用于运算还是正保持于工作记忆中以备将来的运算，并以此推断对题目信息的建构发生在解题过程的具体哪一时段(Thevenot&Oakhill，2008)。因此，眼动技术与出声思维法相结合以及新范式的逐渐涌现，一定会带来代数应用题视觉化表征研究的重大突破。

第三，代数应用题视觉化表征的影响因素是多样的，除上述几种外，还与工作记忆、情绪、课堂教育密不可分。已有研究对工作记忆的中央执行和语音回路在代数应用题表征中的作用进行了探索，但没有涉及到视空间模板的作用(Anderisson，2007)。视空间模板主要处理视觉空间信息，它包含两个元素：视觉元素(与颜色、形状有关)和空间元素(与位置有关)。这正是视觉化表征所离不开的两个元素，但视空间模板与视觉化表征究竟有什么样的关系，有关的行为机制和神经机制是什么尚未可知。其次，Presmeg(1986b)曾指出个体情感因素可能是造成表征方式差异的一个原因，但对情感因素至今鲜见具体研究。最后，传统的代数应用题教学通过课堂熏陶和考试，多强调学生对应用题的抽象表征，使多数学生形成了某种固定的思维偏好。习惯性的抽象表征使得原本直观的视觉化表征方式变得生疏，滋养了思维惰性的形成。对数学教育研究而言，开发新的教学方法，鼓励学生在题目没有提供明确的变量关系的情况下，学会建构代数应用题中客体之间关系的空间表征。以一种多产的视觉化方式表征问题，是很有现实意义的课题(Moselcy,2005；Moseley&Brenner,2009)；同时。这方面的干预研究，例如小组辅导方式教学研究等(Fuchs，et a1.，2008)，也是优化数学学习能力所迫切需要的(Vicente，Van Dooren，&Verschaffel，2008)。

总之，代数应用题的视觉化表征研究正逐步深入和丰富，研究手段也日益精确化和科学化，研究者正努力尝试从多元化的视角去探索，这将为代数应用题教学难点的突破提供更为有效的方法。也将为揭示儿童表征数学问题的内在机制提供更精确细致的答案。