三等分角的几种方法

三等分角的核心方法是利用弧，通过圆柱三等分角.铺垫方法：展开或切割圆柱侧面三等分角.

方法一立体作弧法三等分角

将∠AOB三等分，以顶点O为圆心，以任意长为半径画弧AB，交角两边分别于点A、B.作与AB 等分线垂直的线段EF，同时三等分线段EF，等分点为G、H，即EG= GH = HF.

图1

作过A、E和与A、E等距离、与FE平行相等的线段MN（M是AB 上的点）的中点K的圆弧，交过G点的平行AB的O′于点I，同样得到点J，如图1.然后以IJ 截AB，交点为C、D，则AC=

CD=BD.连结OC、OD，则∠AOC=∠COD=∠BOD.

证明：如图2，因为将平面上一个等腰三角形折叠贴在圆柱侧面，则两腰所成的曲线，等长曲线的曲率处处相等，

所以两腰所成的曲线是圆弧.

图2

因为A、K、E在以AB为底的圆柱侧面上，

且过点A、K、E的圆弧唯一

所以AE在圆柱面上，可看作是等腰三角形ABE折叠成圆柱面所成.

将AE所在的圆柱面展开，则会出现ABE，

在ABE中，因为EG=1/3EF，

所以IE=1/3AE，JE=1/3BE（三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.

平行线分线段成比例定理）

所以IJ=1/3AB 所以IJ=1/3AB

所以AC=CD=BD， 则∠AOC=∠COD=∠BOD.

方法二立体作平行线法三等分角

要将∠AOB三等分，以顶点O为圆心，以任意长为半径画弧AB，交角两边分别于点A、B.作与AB等分线垂直的线段EF.

图3

连结AE，连结AE的中点L和与A、E等距离、与FE平行的线段MN（M为AB上的点）的中点K；过2/3AE处的点P，作PI∥LK， 交过EF上G点的平行AB的O′于点I，得到点I，同样得到点J，如图3.

证明：因为A、E、K所在的平面与过A、E、K的弧在同一平面，

PI∥LK，

所以I在A、K、E所确定的平面上，同理，J也在A、K、E所确定的平面上.

因为EP=1/3AE， PI∥LK所以I在过G点的平行AB 的O′上，EG=1/3EF.

作AE和BE，将AE和BE所在的圆柱侧面展开，则会出现等腰三角形ABE.

在ABE中，因为EG=1/3EF所以IE=1/3AE，JE=1/3BE.

图4

（三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 平行线分线段成比例定理）

所以IJ=1/3AB，即IJ =1/3AB，所以AC=

CD=BD，

则∠AOC=∠COD=∠BOD（图如方法1所示）

（位于圆柱两底的弧，除三等分圆柱的高外，还可利用其他方法三等分弧.

如：在圆柱侧面作平行弧三等分弧.）

方法三将圆弧放置在圆柱侧面三等分角

如图5，要三等分∠BAC，作BC，将BC倾斜，作垂直于水平面的直线BM、CN，过BC中点D作DF垂直于水平面，且DF=BG=NH.（注意，点B和点C分居点D上下两端；并确保除点B，BC上各点所作的垂直于水平面的垂线，不超过且重复BM，除点C不超过且重复CN.）作过点G、点D和点H的圆周.三等分线段CN，过三等分点I作平行且半径等于所作圆周半径的圆周交BC于点K，则BK=1/3BC.用

BK截BC，得另一个三等分点J.将BC还原到扇形BAC中，连结AJ、AK，则∠BAK=∠JAK=∠CAJ.

图5

证明：因为BG=DF=NH.

所以点G、点D、点H在平行于底面的平面上，

因为BC曲率处处相等，圆柱侧面过点D，直线BM、CN垂直于水平面，所以BC上点与底面圆周上的点形成一一对应关系.如：D与下底F对应， BC 上点K与下底圆周上点K′对应，即过点K所作的垂直于底平面的直线必与下底圆周相交于点K′，即BC在圆周侧面上.

因为点K与点B、点C在同一个圆柱侧面上，NI=1/3NC.

所以BK=1/3BC，所以BK=JK=

CJ，所以∠BAK=∠JAK=∠CAJ.

三等分角的核心理论是：位于圆柱两底的圆弧，可由三等分圆柱的高等方法来三等分圆弧；位于圆柱侧面的圆弧，可由三等分圆弧两个端点所确定的弦或三等分圆弧两个端点所在的圆柱的高来三等分圆弧，从而实现三等分角.这个理论可扩展为任意等分弧和任意等分角，即： 位于圆柱两底的圆弧，可由等分圆柱的高等方法来等分圆弧；位于圆柱侧面的圆弧，可由等分圆弧两个端点所确定的弦或等分圆弧两个端点所在的圆柱的高来等分圆弧，从而实现等分角.

[甘肃省静宁县白草初中 （743409）]