电磁感应中的一类重要问题――磁动力问题

【摘 要】 电磁感应是高中物理的重点内容，磁动力问题涉及的知识面广，应用性强，对学生的综合能力要求高。本文通过对磁动力目前涉及到的所有例题的分析，以便更好地帮助学生提高对这类问题的分析处理能力，深入理解物理知识的内在联系。

【关键词】 磁动力；例题；分析；应用

【中图分类号】G63.23 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）22-00-04

电磁感应是高中物理的重点内容，涉及的知识面广，综合性强，对学生运用所学知识解决实际问题能力要求较高，是高考的重点内容之一。磁动力问题考察楞次定律、法拉第电磁感应定律、右手定则、闭合电路欧姆定律、安培力的大小和方向、牛顿运动定律、功能关系、功率等有关知识，考察面很广，应用性很强。笔者通过对磁动力问题目前所能涉及到的例题的详尽分析，以便更好地帮助学生提高对这类问题的分析能力、处理能力，进而深入理解物理知识的内在联系。

导体切割磁感线是电磁感应中常见的一类模型，但大多数是磁场不动，导体杆运动。而当磁场运动时，磁场会给杆一个向前的安培力，即磁动力。

问题：

如图所示，光滑的平行长直金属导轨置于水平面内，间距为L，导轨左端接有阻值为R的电阻。质量为m的导体棒垂直跨接在导轨上，导轨和导体棒的电阻均不计，且接触良好。通过沿导轨安装的通电线圈，在一矩形区域内产生匀强磁场，磁场方向竖直向下，磁感应强度的大小为B。开始时，导体棒静止于磁场区域的右端，当磁场以速度v1匀速向右移动时：

一、电流方向的判断

磁场向右运动，相当于导体杆相对磁场向左运动，由右手定则判断，大拇指向左，电流方向沿杆由上而下。

1.动力来源：

（1）电流由上而下，由左手定则得，导体杆受到的安培力向右，即磁动力，使杆向右运动。动力原理如传送带原理。

（2）当磁场以速度v1匀速向右移动时，导体杆以向右运动时（），回路中的感应电动势。实际上，当杆与磁场有相对运动时，是杆相对磁场的速度。

应用：

加速

1.磁场匀速运动

例1、（北京海淀）如图所示，两根平行长直金属导轨倾斜放置，导轨平面与水平面的夹角为θ，导轨的间距为L，两导轨上端之间接有阻值为R的电阻。质量为m的导体棒ab垂直跨接在导轨上，接触良好，导体棒与导轨间的动摩擦因数为μ，导轨和导体棒的电阻均不计。在导轨平面上的矩形区（如图中虚线框所示）域内存在着匀强磁场，磁场方向垂直导轨平面向上，磁感应强度的大小为B。当磁场以某一速度沿导轨平面匀速向上运动时，导体棒以速度v0随之匀速向上运动。设导体棒在运动过程中始终处于磁场区域内。求：

（1）通过导体棒ab的电流大小和方向；

（2）磁场运动的速度大小；

（3）维持导体棒匀速向上运动，外界在时间t内需提供的能量是多少？

解析：（1）导体棒ab做匀速运动，受力平衡，设通过导体棒的电流为I，则

BIL=μmgcosθ+mgsinθ

解得I=

由左手定则判定，电流的方向由b到a

（2）当导体棒以恒定速度v0匀速运动时，设磁场运动的速度为v

则E=BL（v-v0）

通过导体棒的电流I=

导体棒受到的安培力F=BIL

解得v=

（3）外界提供的能量一部分转化为电阻R中的焦耳热，一部分克服摩擦力和重力做功。

在时间t内产生的焦耳热Q=I2Rt=

在时间t内导体棒上滑的距离

克服摩擦力和重力做功W克=

在时间t内外界提供的能量E=Q+W克

解得E=

例2、（北京海淀）磁悬浮列车是一种高速运载工具，它是经典电磁学与现代超导技术相结合的产物。磁悬浮列车具有两个重要系统。一是悬浮系统，利用磁力（可由超导电磁铁提供）使车体在导轨上悬浮起来与轨道脱离接触。另一是驱动系统，就是在沿轨道安装的绕组（线圈）中，通上励磁电流，产生随空间作周期性变化、运动的磁场，磁场与固定在车体下部的感应金属框相互作用，使车体获得牵引力。

为了有助于了解磁悬浮列车的牵引力的来由，我们给出如下的简化模型，图（甲）是实验车与轨道示意图，图（乙）是固定在车底部金属框与轨道上运动磁场的示意图。水平地面上有两根很长的平行直导轨，导轨间有竖直（垂直纸面）方向等距离间隔的匀强磁场Bl和B2，二者方向相反。车底部金属框的宽度与磁场间隔相等，当匀强磁场Bl和B2同时以恒定速度v0沿导轨方向向右运动时，金属框也会受到向右的磁场力，带动实验车沿导轨运动。

设金属框垂直导轨的边长L=0.20m、总电阻R=l.6Ω，实验车与线框的总质量m=2.0kg，磁场Bl=B2=B=1.0T，磁场运动速度v0=10m/s。回答下列问题：

（1）设t=0时刻，实验车的速度为零，求金属框受到的磁场力的大小和方向；

（2）已知磁悬浮状态下，实验车运动时受到恒定的阻力f1=0.20N，求实验车的最大速率vm；

（3）实验车A与另一辆磁悬浮正常、质量相等但没有驱动装置的磁悬浮实验车P挂接，设A与P挂接后共同运动所受阻力f2=0.50N。A与P挂接并经过足够长时间后的某时刻，撤去驱动系统磁场，设A和P所受阻力保持不变，求撤去磁场后A和P还能滑行多远？

解析：（1）t=0时刻，线框相对磁场的速度为v0=10m/s，金属框A中产生逆时针方向的感应电流，设瞬时电动势大小为E0

E0==2BLv=4.0V

设线框中的电流大小为I0，根据闭合电路欧姆定律

I0==2.5A

设金属框A受到的磁场力的大小为F0，根据安培力公式

F0=2BI0L=1.0N方向向右

（2）金属框A达到最大速度vm时相对磁场的速度为（v0-vm），设此时线圈中的感应电动势为E1，则E1=2BL（v0-vm）

设此时金属框中的电流为I1，根据欧姆定律

I1=

实验车达到最大速度时受力平衡，f1=2BI1L

整理得：f1=

解得：vm=8.0m/s………………1分

（3）设A与P挂接后再次达到匀速运动时的速度为v2，同理可得

f2=

解得v2=5.0m/s

设撤去磁场后A和P还能滑行的距离为s，根据动能定理

解得s=100m

2.磁场匀加速运动

例3、（北京海淀）磁悬浮列车是一种高速运载工具，它具有两个重要系统。一是悬浮系统，利用磁力（可由超导电磁铁提供）使车体在导轨上悬浮起来与轨道脱离接触从而减小阻力。另一是驱动系统，即利用磁场与固定在车体下部的感应金属框相互作用，使车体获得牵引力，下图是实验列车驱动系统的原理示意图。在水平面上有两根很长的平行轨道PQ和MN，轨道间有垂直轨道平面的匀强磁场B1和B2，且B1和B2的方向相反，大小相等，即B1=B2=B。在列车的底部固定着绕有N匝相同的闭合矩形金属线圈，并且与之绝缘。整个线圈的总电阻为R，每个矩形金属线圈abcd垂直轨道的边长Lab=L，且两磁场的宽度均与金属线圈ad的边长相同（列车的车厢在图中未画出）。当两磁场Bl和B2同时沿导轨方向向右运动时，金属框也会受到向右的磁场力，带动列车沿导轨运动。已知列车车厢及线圈的总质量为M，整个线圈的电阻为R。

（1）假设用两磁场同时水平向右以速度v0作匀速运动来起动列车，为使列车能随磁场运动，列车所受总的阻力大小应满足的条件；

（2）设列车所受阻力大小恒为f，假如使列车水平向右以速度v做匀速运动，求维持列车运动外界在单位时间内需提供的总能量；

（3）设列车所受阻力大小恒为f，假如用两磁场由静止沿水平向右做匀加速运动来起动列车，当两磁场运动的时间为t1时，列车也正在以速度v1向右做匀加速直线运动，求两磁场开始运动后到列车开始起动所需要的时间t0。

解：（1）列车静止时，电流最大，列车受到的电磁驱动力最大设为Fm，此时，线框中产生的感应电动势E1=2NBLv0

线框中的电流：I1=

整个线框受到的安培：力Fm=2NBI1L

列车所受阻力大小为：

（2）当列车以速度v匀速运动时，两磁场水平向右运动的速度为v′，金属框中感应电动势

金属框中感应电流

又因为：

求得：

当列车匀速运动时，金属框中的热功率为P1=I2R

克服阻力的功率为P2=fv

所以可求得外界在单位时间内需提供的总能量为E=I2R+fv=

（3）根据题意分析可得，为实现列车最终沿水平方向做匀加速直线运动，其加速度必须与两磁场由静止开始做匀加速直线运动的加速度相同，设加速度为a，则t1时刻金属线圈中的电动势

金属框中感应电流：

又因为安培力：

所以对列车，由牛顿第二定律得：

解得：

设从磁场运动到列车起动需要时间为t0，则t0时刻金属线圈中的电动势：

金属框中感应电流：

又因为安培力：

所以对列车，由牛顿第二定律得：

解得：

例4、（上海）如图所示，光滑的平行长直金属导轨置于水平面内，间距为L、导轨左端接有阻值为R的电阻，质量为m的导体棒垂直跨接在导轨上。导轨和导体棒的电阻均不计，且接触良好。在导轨平面上有一矩形区域内存在着竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。开始时，导体棒静止于磁场区域的右端，当磁场以速度v1匀速向右移动时，导体棒随之开始运动，同时受到水平向左、大小为f的恒定阻力，并很快达到恒定速度，此时导体棒仍处于磁场区域内。

（1）求导体棒所达到的恒定速度v2；

（2）为使导体棒能随磁场运动，阻力最大不能超过多少？

（3）导体棒以恒定速度运动时，单位时间内克服阻力所做的功和电路中消耗的电功率各为多大？

（4）若t=0时磁场由静止开始水平向右做匀加速直线运动，经过较短时间后，导体棒也做匀加速直线运动，其v-t关系如图（b）所示，已知在时刻t导体棋睥瞬时速度大小为vt，求导体棒做匀加速直线运动时的加速度大小。

解析：（1）

速度恒定时有：，可得：

（2）

（3）P导体棒，P电路

（4）因为，导体棒要做匀加速运动，必有为常数，设，则，可解得：

总结：若金属棒在运动中不受阻力，最终金属棒将达到和磁场相同的速度匀速运动，回路中不再有感应电流，不受安培力的作用；若金属棒在运动中受阻力f，金属棒以恒定的速度匀速运动，磁场和金属棒保持恒定的速度差，即（）；若磁场由静止开始做匀加速直线运动，当安培力增大到等于金属棒所受的最大静摩力时（），金属棒开始做加速度逐渐增大的加速运动，最终以和磁场相同的加速度匀加速运动，从而保证二者之间恒定的速度差。要使金属棒加速或维持最大速度，必须给系统补充能量：线框内部要产生焦耳热；由于受到阻力，摩擦生热；金属棒动能的增加。这些能量全部来源于外界使磁场运动的能量。

二、减速

例5、（北京海淀）如图虚线框内为某种电磁缓冲车的结构示意图，在缓冲车的底板上沿车的轴线固定有两个足够长的平行绝缘光滑导轨PQ、MN，在缓冲车的底部还安装有电磁铁（图中未画出），能产生垂直于导轨平面的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B。在缓冲车的PQ、MN导轨内有一个由高强度材料制成的缓冲滑块K，滑块K可以在导轨上无摩擦地滑动，在滑块K上绕有闭合矩形线圈abcd，线圈的总电阻为R，匝数为n，ab的边长为L。缓冲车的质量为m1（不含滑块K的质量），

滑块K的质量为m2。为保证安全，要求缓冲车厢能够承受的最大水平力（磁场力）为Fm，设缓冲车在光滑的水平面上运动。

（1）如果缓冲车以速度v0与障碍物碰撞后滑块K立即停下，请判断滑块K的线圈中感应电流的方向，并计算感应电流的大小；

（2）如果缓冲车与障碍物碰撞后滑块K立即停下，为使缓冲车厢所承受的最大磁场力不超过Fm，求缓冲车运动的最大速度；

（3）如果缓冲车以速度v匀速运动时，在它前进的方向上有一个质量为m3的静止物体C，滑块K与物体C相撞后粘在一起，碰撞时间极短。设m1=m2=m3=m，在cd边进入磁场之前，缓冲车（包括滑块K）与物体C已达到相同的速度，求相互作用的整个过程中线圈abcd产生的焦耳热。

解析：（1）由右手定则判断出感应电流的方向是abcda（或逆时针）.缓冲车以速度v0碰撞障碍物后滑块K静止，滑块相对磁场的速度大小为v0

线圈中产生的感应电动势E0=nBLv0

线圈中的电流：I0=

解得：I0=.

（2）设缓冲车的最大速度为vm，

碰撞后滑块K静止，滑块相对磁场的速度大小为vm。

线圈中产生的感应电动势E1=nBLvm

线圈中的电流I1=

线圈ab边受到的安培力F1=nBI1L

依据牛顿第三定律，缓冲车厢受到的磁场力F1'=F1

依题意F1'≤Fm

解得：vm=

（3）设K、C碰撞后共同运动的速度为v1，由动量守恒定律

m2v=（m2+m3）v1

解得：v1=

设缓冲车与物体C共同运动的速度为v2

由动量守恒定律（m1+m2）v=（m1+m2+m3）v2

设线圈abcd产生的焦耳热为Q，依据能量守恒

Q=+-

解得：Q=

例6、（北京海淀）涡流制动是一种利用电磁感应原理工作的新型制动方式，它可对高速运行的磁悬浮列车进行制动。它的基本原理如下图甲所示。水平面上固定一块铝板，当一竖直方向的条形磁铁在铝板上方几毫米高度上水平经过时，铝板内感应出的涡流会对磁铁的运动产生阻碍作用。

某研究所制成如上图乙所示的车和轨道模型来定量模拟磁悬浮列车的涡流制动过程。车厢下端安装有电磁铁系统，它只能在长为L1=0.6m，宽L2=0.2m的矩形区域内产生竖直方向的匀强磁场，其它地方的磁场忽略不计。将铝板简化为长大于L1，宽也为L2的单匝矩形线圈，间隔铺设在轨道正中央，其间隔也为L2，每个线圈的电阻为R1=0.1Ω，导线粗细忽略不计，简化的俯视图如上图乙1。在某次实验中，当模型车速度为v0=20m/s时，启动电磁铁系统开始制动，由于磁感应强度可随车速的减小而自动增大（由车内速度传感器控制），但最大不超过B1=2T，所以制动开始时车立即以a1=2m/s2的加速度做匀减速直线运动，当磁感应强度增加到B1时就保持不变，直到模型车停止运动。已知模型车的总质量为m1=36kg，空气阻力不计。不考虑磁感应强度的变化引起的电磁感应现象以及线圈激发的磁场对电磁铁产生磁场的影响。求：

（1）电磁铁的磁感应强度达到最大B1时，模型车的速度v为多大？

（2）模型车的制动距离s为多大？

（3）为了节约能源，将电磁铁换成若干个并在一起的永磁铁组，两个相邻的磁铁磁极的极性相反，且将线圈改为连续铺放，如下图丙所示。两相邻磁铁间夹有厚度不计的非磁性材料，即可在线圈中产生如下图丙1所示的磁场（俯视平面图）。已知模型车质量减为m2=20kg，永磁铁激发的磁感应强度大小恒为B2=0.1T，每个线圈匝数为N=10匝，电阻为R2=1Ω，相邻线圈紧密接触但彼此绝缘。模型车仍以v0=20m/s的初速度开始制动，为保证制动距离不大于80m，至少安装永磁铁的个数n？

解析：（1）假设电磁铁的磁感应强度达到最大时，模型车的速度为

则

由上式并代入数据得

（2）

由第（1）问的方法同理得到磁感应强度达到最大以后任意速度时，安培力的大小为

对速度后模型车的减速过程用动量定理得

解得：

（3）假设需要个永磁铁

当模型车的速度为时，每个线圈中产生的感应电动势为

每个线圈中的感应电流为：

每个磁铁受到的阻力为：

个磁铁受到的阻力为：

由第（2）问同理可得：

由上式并代入已知得即至少需要个永磁铁

新课程背景下，注重基础知识的同时，也要注重知识的应用。理论联系实际，把所学的知识应用到实际问题中，已成为物理高考的一大热点，在以后的高考中会由更多的体现，是高考发展的趋势。