《圆锥曲线中的定值问题》

探究1：

师：同学们应该还记得在抛物线的课后习题中有这样一道练习：如图：直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A，B两点，求证：OAOB

这是一个定直线与定抛物线相交的问题，我们只要将A，B两点坐标求出来，就可以轻而易举得到OAOB了，接下去我将这个问题稍做改动，请大家思考变式：直线y=k（x-2）（k≠0与抛物线y2=2x相交于A，B两点，OAOB？

师：变式后的本质区别在哪里？

生（全体）：定直线变成了动直线

师：那请大家猜想一下OAOB？

生（部分）：垂直

师：（用几何画板演示，证实学生的猜测）接下来谁能来证明一下这个结论呢？

生1：还是按前面那道习题的证明方法，将直线方程与抛物线方程联立，用k将A，B两点的坐标表示出来，证明

师：同学1很好的将前面的证明思路迁移到了这个问题上来，那还有同学有其他想法吗？

生2：A，B点坐标不求出来也可以证，只要

师：同学2采用了解决解析几何经常使用的一种思想方法“设而不求”，证法既常规又巧妙.我们从两位同学的证明过程中可以发现 与 的垂直关系与直线的斜率 无关，那与什么有关呢？

生3：直线所过的定点有关

师：那你能从这道变式中帮我们提炼出一个一般性的结论吗？

生3：O为坐标原点，抛物线y2=2px（p>0），过定点（2p，0）的直线与抛物线交于A，B两点，则OAOB.

板书：结论一：O为坐标原点，抛物线y2=2px（p>0），过定点（2p，0）的直线与抛物线交于A，B两点，则OAOB.

师：很好！这个结论的证明跟变式的证明思路是一样的，大家可以课外去证明一下.

探究2：

师：接下去我们再来看一个抛物线与直线相交的问题

例2. 过抛物线y2=4x的焦点F做直线l交抛物线于A，B两点，（1）求证： 为定值

（2）若l又交抛物线的准线于点M，已知 ，试推断λ1+λ2是否为定值，并说明理由

师：第（1）小题关于定值问题的证明，其实就是探究出定值为多少的过程，当然我们也可以先猜想出这个定值为多少，再证明，同学们能够猜想出这个定值吗？

生4：这个定值为1

师：你是怎么猜测出来的？

生4：我将这条线段放到垂直位置，此时|AF|=|BF|=2，所以

师：大家认为同学4的猜测合理吗？

大家都点头表示赞同

师：我也感觉你猜测得很有道理，那接下去我们就去证明为什么定值为1，因为你猜测的依据只是一种特殊情况，即我们以前学过的归纳推理，并不能作为证明.而这个证明过程跟刚才变式的证明思路有异曲同工之处，就让我们一起来完成这个证明吧（学生边说，老师边板书）

证明：当lx轴时，

当l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1）（k≠0）设A（x1，y1）B（x2，y2）

师：大家都说得很好，接下去我想请同学把这个结论推广到一般的抛物线与直线上去，看看能否得到一般性的结论？

生5：过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F做直线l交抛物线于A，B两点，

则 为定值

师：同学5的归纳能力与语言组织水平还是相当不错的！

板书：结论二：过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F做直线l交抛物线于A，B两点，

则 为定值

探究3：

师：接下去我们来研究第（2）小题，我先提示一下：虽然说用代数方法来解决几何问题是解析几何的本质，但有些问题，我们不妨也可以考虑用几何办法来解决，因为几何法更直观，更简洁！我们可以先过A，B两点分别做准线的垂线 ，那就把 的关系转化为 的关系上去，大家先思考一下，有思路的同学不妨跟大家分享一下你的想法.

生6：如图3：由已知 ， ，得λ1·λ2

则： .…………①

过点 分别作准线 的垂线，垂足分别为 ， ，

则有： .…………② 由①②得： ，即λ1+λ2=0.

师：非常好！同学6的证明过程用到了抛物线的定义和相似比性质，但在整个过程中我们看到与具体是什么样的抛物线方程没有关系，因此我们又可以得到一般性的结论：

板书：结论三：设抛物线y2=2px（p>0）的一个焦点为F，相应准线为l，过F的直线交曲线C于A、B两点，交l于M点，若 ， ，则λ1+λ2=0；

小结

师：从以上一系列定值问题的探究过程我们可以总结一下解决定值问题的一般策略：

（1） 特殊情况探路，明确方向；

（2） 紧扣定义，寻求捷径；

（3） 设而不求，应用韦达定理等获解。