时间:2022-09-02 10:33:13
摘要:平行线与角是初中几何中的基本图形,角的平分线在平面几何中具有重要的作用.本文通过典型例题对平行线与角平分线的结合进行了分析与探究,发现当平行线与角平分线在同一图形中出现时,不难得出相等的角或边的结论,用“平、平、等”三字概括此类几何图形中三者之间的微妙的关系.
关键词:平行线;角平分线;相等
作者简介:符布先(1985-),男,本科,中学二级教师,主要从事初中数学教学研究.在初中数学教学中,几何推理和图形证明是教学中的重难点,需要学生有良好的空间想象能力,很多学生感觉学习时很吃力,如果教师仍然采用照本宣科的教学方法,教学效果自然难尽人意.因此,发掘几何图形推理和证明中的规律性的技巧,对提高初中数学教学质量,有着积极的作用.
平行线的性质是初中几何的一个基本性质,可通过平行线的性质证明角之间的数量关系.角是初中几何中的一个基本图形,角的平分线所在的直线是角的对称轴,角的平分线在平面几何中具有重要的地位和作用.当平行线与角的平分线在同一图形中结合时,会有什么不一样的情况出现呢?
例1已知,如图1,在ABC中,BD平分∠ABC交AC于D,DE∥BC交AB于E.证明:BDE是等腰三角形.
分析题目中已知条件为BD平分∠ABC, DE∥BC,根据平行线的性质,可得同位角或者内错角相等,以及同旁内角互补,由角平分线的定义可知,∠ABD=∠CBD,利用等量代换可得在BDE中,∠ABD=∠BDE,故BDE为等腰三角形.
证明DE∥BC(已知)
∠EDB=∠DBC(两直线平行 内错角相等)
BD平分∠ABC(角平分线的定义)
∠ABD=∠BDE(等量代换)
BDE是等腰三角形(等角对等边)
例2如图2,在ABC中,AB=6,AC=8,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,过D作EF∥BC分别交AB、AC于E、F.求AEF的周长.
分析此题中的图形在三角形章节中常出现,该题中的条件有EF∥BC、BD平分∠ABC、CD平分∠ACB,对比上面典型例题1,不难发现两者的联系,运用其可得BE=ED、DF=CF,故AEF的周长可通过等量代换转换成AB+AC来计算得出.
解BD平分∠ABC,CD平分∠ACB
∠ABD=∠CBD, ∠ACD=∠BCD
EF∥BC
∠CBD=∠BDE, ∠BCD=∠FDC
∠ABD=∠EDB, ∠FDC=∠DCF
ED=BE,DF=CF
tAEF的周长=AE+EF+AF
=AE+ED+DF+AF
=AB+AC=6+8=14
例3已知,如图3,AE是ABC外角的平分线,且AE∥BC,求证:ABC为等腰三角形.
分析等腰三角形可由两角相等或者两边相等来判定,在平行线间多有角的相等关系,在同一三角形中当两角相等即可得到两边相等,即该三角形为等腰三角形.
证明 AE平分∠DAC(已知)
∠DAE=∠EAC(角平分线的定义)
AE∥BC(已知)
∠DAE=∠B,∠EAC=∠C(平行线的性质)
∠B=∠C(等量代换)
AB=AC(等角对等边)
即ABC为等腰三角形
通过上述问题中对平行线与角平分线的结合进行了分析与探究,发现当平行线与角平分线在同一图形中出现时,往往不难得出,相等的角或者相等的边的结论,故我用“平、平、等”三字概括此类几何图形中三者之间的微妙的关系.
总之,在初中数学几何推理和图形证明中,教师需要引导学生认真观察几何图形,归纳解法及解题思路,从而提高学生几何证明的能力,实现教学相长的目的.