时间：2022-08-31 09:22:07
Extended Jordan kth Partial Derivation on Normed Algebra
Sun Liangji
（Shaanxi Vocational & Technical College，Xi'an 710100，China）
摘要： A1，A2…，An设是复数域上的赋范代数，B是复数域上的Banach 代数，给出了广义Jordan kth偏导子δk：A1×…×AnB的概念，并刻画了δk：A1×…×AnB在The Hyers-Ulam-Rassias方程下的稳定性的问题。
Abstract: Assume that A1，A2…，An are normed algebras, B is a Banach algebra, the concept of the extended jordan kth partial derivation is introduced. The Hyers-Ulam-Rassias stability problem of the extended jordan kth partial derivations on normed algebras are characterized.
关键词： Banach 代数 广义Jordan kth偏导子 稳定性
Key words: Banach algebra；Extended jordan kth partial derivation；stability
中图分类号：G42文献标识码：A文章编号：1006-4311（2011）26-0195-02
1预备知识
设R是实数域，C是复数域，1940年，Ulam[4]第一次在函数方程下讨论了群同态的稳定性的问题，Hyers[5]在Banach空间中进一步刻画了Ulam的问题。Badora[1]给出了环导子稳定性的结论，内容如下：设B1是Banach 代数B的子代数，若存在常数ε1，ε2?叟0，映射f：B1B满足f（x+y）-f（x）-f（y）?燮ε1，f（xy）-xf（y）-f（x）y?燮ε2，?坌x，y∈B1。则存在唯一一个可加导子?I：B1B使得f（x）-?I（x）?燮ε1和x・（f（x）-?I（x）│）=0。而且还给出了The Rassias导子稳定性的结论。在本文中，设A1，A2…，An是复数域上的赋范代数，A1×…×An是A1，…，An的有限维乘积，显然A1×…×An是复数域上的赋范代数，B是复数域上的Banach代数，若映射：δk：A1×…×AnB满足δk（x1，…，γak+μbk，…，xn）=γδk（x1，…，ak，…，xn）+μδk（x1，…，bk，…，xn）?坌γ，μ∈C，和存在一映射fk：AkB使得δk（x1，…，akbk，…xn）=fk（ak）δx1，…，bk，…，xn）+δk（x1，…，ak，…，xn）fk（bk），?坌ak，bk∈Ak，ai∈Ai（i≠k），则称δk：A1×…×AnB是kth偏导子。
最近Hahng-Yun Chu[2]给出了k-th偏导子稳定性的结论。受以上作者的启发，本文给出了广义Jordan k-th偏导子的定义，并得到了一些关于广义Jordan k-th偏导子稳定性的结论。
2主要结论
本文设T=λ∈C，λ=1，K是一个大于1的整数，0k，0B分别表示Ak，B的零元素，1k，1B分别表示Ak，B的单位元。若映射δk：A1×…×AnB满足
δk（x1，…，γak+μbk，…，xn）=γδk（x1，…，ak，…，xn）+μδk（x1，…，bk，…，xn）?坌γ，μ∈C，和存在一映射fk：AkB使得
δk（x1，…，akbk+bkak，…，xn）=fk（ak）δk（x1，…，bk，…，xn）+δk（x1，…，ak，…，xn）fk（bk）+fk（bk）δk（x1，…，ak，…，xn）+δk（x1，…，bk，…，xn）fk（ak）-fk（ak）δk（x1，…，1k，…，xn）fk（bk）-fk（bk）δk（x1，…，1k，…，xn）fk（ak），?坌ak，bk∈Ak，ai∈Ai（i≠k），则称δk：A1×…×AnB是广义Jordan k-th偏导子。
定理
设Fk：A1×…×AnB是一映射且满足Fk（x1，…，0k，…，xn）=0B，若存在一个映射φk：Ak×Ak×Ak×Ak[0，∞）和一个可加映射fk:AkB且fk（1k）=1B满足■K■φ■（K■a■×K■b■×K■c■×K■d■）=0；（1）
■■（a■）:=■K■φ■（K■a■，0■，0■，0■）＜+∞；（2）
Fk（x1，…，■+c■d■+d■c■，…，xn）-■F■（x1，…，ak，…，xn）-■F■（x1，…，bk，…，xn）-fk（ck）Fk（x1，…，dk，…，xn）-F■（x1，…，ck，…，xn）fk（dk）-fk（dk）Fk（x1，…，ck，…，xn）-Fk（x1，…，dk，…，xn）fk（ck）+fk（ck）F■（x1，…，1k，…，xn）fk（dk）+fk（dk）Fk（x1，…，1k，…，xn）fk（ck）?燮φk（ak×bk×ck×dk），?坌λ∈T=λ∈C，λ=1∈C，?坌ak，bk，ck，dk∈Ak，xi∈Ai，（i≠k）（3）
则存在唯一的广义Jordan k-th偏导子δk：A1×…×AnB使得
Fk（x1，…，xn）-δk（x1，…，xn）?燮■■（x■），xi∈Ai（4）
证明：在（3）中，令bk=ck=dk=0k，λ=1，用Kxk代替ak得
Fk（x1，…，xk，…，xn）-■?燮φk（Kxk×0k×0k×0k），?坌xk∈Ak（5）
进一步得到■-■?燮■K■φk（Kjxk，0ak，0ak，0ak），?坌0?燮m＜n，?坌xk∈Ak（6）
由于B是完备的，所以序列■是Cauchy列，所以是收敛的。令δk（x1，…，xk，…，xn）：=■■，?坌xi∈Ai。在（3）中令ck=dk=0k，用knak，knbk分别代替ak，bk得K-nFk（x1，…，Kn■，…，x■）-■K■F■（x■，…，K■a■，…，x■）-■K-nFk（x1，…，Knbk，…，xn）?燮K-nφk（Knak×knbk×0k×0k）（7）
上式当n∞时
δk（x1，…，■，…，x■）=■δk（x1，…，ak，…，xn）+■δk（x1，…，bk，…，xn），?坌λ∈T（8）
在（8）中令bk=0k，得
δk（x1，…，■，…，xn）=■δk（x1，…，ak，…，xn），?坌λ∈T。
设任意复数γ=θ1+iθ2，其中θ1，θ2∈R，设γ1=θ1-[θ1]，γ2=θ2-[θ2]，其中[θi]表示不大于θi的最大正数，那么0?燮γi＜1（i=1，2），由于γi可以表示成γi=■，其中λi，j∈T（1?燮i，j?燮2），由（8）得
δk（x1，…，γxk，…，xn）=δk（x1，…，（θ1+iθ2）xk，…，xn）=δk（x1，…，θ1xk，…，xn）+iδk（x1，…，θ2xk，…，xn）=[θ1]δk（x1，…，xk，…，xn）+δk（x1，…，γ1xk，…，xn）+i（[θ2]δk（x1，…，xk…，xn）+δk（x1，…，γ2xk，…，xn））=γδk（x1，…，xk，…，xn），?坌xi∈Ai，?坌γ∈C。
所以δk关于第k个变量是C-线性的，在（6）中令m=0，得
■-F■（x■，…，x■，…，x■）?燮■K■φ■（K■x■，0■，0■，0■）。
上式当n∞时，得
Fk（x1，…，x■，…，xn）-δk（x1，…，x■，…，xn）?燮■k（xk），?坌xi∈Ai。
在（3）中令ak=bk=0k，用Knck，Kndk分别代替ck，dk得
Fk（x1，…，K2n（ckdk+dkck），…，xn）-Knfk（ck）Fk（x1，…，Kndk，…，xn）-Fk（x1，…，Knck，…，xn）Knfk（dk）-Knfk（dk）Fk（x1，…，Knck，…，xn）-Fk（x1，…，Kndk，…，xn）Knfk（ck）+K2nfk（ck）Fk（x1，…，1k，…，xn）fk（dk）+K2nfk（dk）Fk（x1，…，1k，…，xn）fk（ck）φk（0k×0k×Knck×Kndk），所以■Fk（x1，…，K2n（ckdk+dkck），…，xn）-fk（ck）■Fk（x1，…，K■dk，…，xn）-■Fk（x1，…，Knck，…，xn）fk（dk）-fk（dk）■Fk（x1，…，K■ck，…，xn）-■Fk（x1，…，K■dk，…，xn）fk（ck）+fk（ck）Fk（x1，…，1k，…，xn）fk（dk）+fk（dk）Fk（x1，…，1k，…，xn）fk（ck）?燮■φk（0k×0k×knck×kndk），上式当n∞时，得
δk（x1，…，ckdk+dkck，…，xn）=fk（ck）δk（x1，…，dk，…，xn）+δk（x1，…，ck，…，xn）fk（dk）+fk（dk）δk（x1，…，ck，…，xn）+δk（x1，…，dk，…，xn）fk（ck）-fk（ck）Fk（x1，…，1k，…，xn）fk（dk）-fk（dk）Fk（x1，…，1k，…，xn）fk（ck），?坌ck，dk∈Ak，xi∈Ai，（i≠k）。上式令ck=dk=1k得δk（x1，…，1k+1k，…，xn）=fk（1k）δk（x1，…，1k，…，xn）+δk（x1，…，1k，…，xn）fk（1k）+fk（1k）δk（x1，…，1k，…，xn）+δk（x1，…，1k，…，xn）fk（1k）-fk（1k）Fk（x1，…，1k，…，xn）fk（1k）-fk（1k）Fk（x1，…，1k，…，xn）fk（1k），xi∈Ai，（i≠k）。
再由fk（1k）=1B，得Fk（x1，…，1k，…，xn）=δk（x1，…，1k，…，xn）。所以δk（x1，…，ckdk+dkck，…，xn）=fk（ck）δk（x1，…，dk，…，xn）+δk（x1，…，ck，…，xn）fk（dk）+fk（dk）δk（x1，…，ck，…，xn）+δk（x1，…，dk，…，xn）fk（ck）-fk（ck）-fk（ck）δk（x1，…，1k，…，xn）fk（dk）-fk（dk）δk（x1，…，1k，…，xn）fk（ck），?坌ck，dk∈Ak，xi∈Ai，（i≠k）。
所以δk是一个满足（4）的广义Jordan k-th偏导子。现在证明δk是唯一的，设k：A1×…×AnB是另外一个满足（4）的广义Jordan k-th偏导子，则δk（x1，…，xk，…，xn）-k（x1，…，xk，…，xn）=■δk（x1，…，Knxk，…，xn）-k（x1，…，Knxk，…，xn）?燮■δk（x1，…，Knxk，…，xn）-Fk（x1，…，Knxk，…，xn）+■Fk（x1，…，Knxk，…，xn）-k（x1，…，Knxk，…，xn）?燮■■k（Knxk），?坌xi∈Ai，上式当n∞时，得δk（x1，…，xk，…，xn）=k（x1，…，xk，…，xn）。
参考文献：
[1]R.Badora,On approximate derivations.Math.Inequal.Appl.,2006,9:167-173.
[2]Hahng-Yun Chu,Partial stabilities and Partial derivations of nvariable functions. Nonlinear Analysis, 2010, 72: 1531-1541.
[3]Th.M.Rassias,On the stability of the linear mapping in Banach spaces.proc. Amer. Math. Soc., 1978, 72: 297-300.
[4]S.M.Ulam,Problems in Modern Mathematics. Science Editions,Wiley,New York,1964(Chapter VI).
[5]D.H.Hyers,On the stability of the linear functional equation.Proc.Natl.Acad. sci. USA 1941,27:222-224.
[6]孙亮吉.广义Jordan-导子和Jordan-同态的稳定性的刻画.山东大学学报：理学版，2008，43：77-79.