无界长弦自由横振动柯西问题的积分变换解法

[摘要]对于无界长弦自由横振动的柯西问题，利用行波法可求出达朗贝尔公式，本文又给出了此问题的两种积分变换解法。教师在教学过程中应采用提问式教学、要求学生一题多解，培养其发散性思维和创造性思维.

[关键词]无界域 行波法 达朗贝尔公式 积分变换法 发散思维

在《数学物理方程与特殊函数》这门课中，对于无界域内波动方程的定解问题，我们通常采用行波法求解，从而得出了一维波动方程的达朗贝尔公式（4）。

无界长弦做自由横振动，满足下列定解问题

作变换 ，得方程（1）通解u（x，t）=f1（x+at）+f2（x-at），

其中f1、f2是任意两次连续可微的函数。

在定解条件下的解为

（4）

于是学生认定，无界域波动方程定解问题只能用行波法，不认为傅立叶变换方法、拉普拉斯变换方法是可行的，教材束缚了他们发散性思维和创造性思维。该问题是适定的，即问题的解存在唯一并且是稳定的，因此采用其他解法，都能得到与（4）式相同的解，下面给出此问题的积分变换解法，以培养学生的创造性思维。

一、应用傅里叶变换求解

设U（ω，t）、Φ（ω）、ψ（ω）分别为 的象函数

对（1）式取关于x的傅里叶变换

对（2）（3）式取同样变换

由（5）得通解U（ω，t）=c1cosaωt+c2sinaωt

（6）（7）代入上式得

二、应用拉普拉斯变换法求解

设 分别为 的象函数

对方程（1）取关于t的拉普拉斯变换，得

.

这是一个关于象函数 的二阶非齐次常微分方程，其通解为

.

考虑到 不应为无限大，常数A取为零，同时，

也不应为无限大，常数B也取为零。为保证积分收敛，第一个积分的下限应取为+∞，第二个积分的下限取为-∞，于是

对上式两端进行拉普拉斯逆变换

联立上述各式易得解（4）.

对于无界弦振动的柯西问题，上述解法也是可行的。积分变换法不受方程类型的限制，对于波动方程、拉普拉斯方程、热传导方程的定解问题，都可求解. 在教学过程中，教师要采用提问式和启发式教学，支持学生从多个角度以不同方式得到解决问题的多种方案或最优方案，培养他们的发散性思维和创造性思维。

（作者单位：华北电力大学数理系 河北保定）