多倍角三角函数展开式的一组有趣的性质

Interesting Nature of the Expansions of Multiple-angle Trigonometric Functions

Dong Yamou

（Shaanxi Post and Telecommunication College，Xianyang 712000，China）

摘要： 笔者发现同类的奇倍角三角函数展开式形式上具有异常的相似性。本文中对此给出严格的数学证明，并通过几道数学问题说明了此性质的应用方法。

Abstract: The author finds that there is great similarity in the expansions of multiple-angle trigonometric functions. In this thesis, strict mathematical proof is given to this nature, and at the time, the application of the nature is demonstrated through a few mathematical problems.

关键词： 三角函数 多倍角 奇倍角三角函数 展开式

Key words: trigonometric functions；multiple angles；haploid-angles trigonometric functions；expansions

中图分类号：G42文献标识码：A文章编号：1006-4311（2011）26-0207-01

笔者发现三角函数的奇倍角展开式有许多有趣的性质，如sinnθ当n为奇数时，可分解为sinθ的奇次多项式；当cosnθ当n为奇数时，可分解为cosθ的奇次多项式，并且展开式系数和形式几乎完全相同，最多只差一个负号。

例如：sin3θ=3sinθ-4sin3θ；cos3θ=-（3cosθ-4cos3θ）；sin5θ=16sin5θ-20sin3θ+5sinθ；cos5θ=16cos5θ-20cos3θ+5cosθ。

可以用数学归纳法证明以下定理成立。

定理：若sin（2n-1）θ=■a2k-1sin2k-1θ，（n∈N），则cos（2n-1）θ=（-1）n+1■a2k-1cos2k-1θ。

证明：（1）n=1时，命题显然成立。

（2）假设n=n0时命题成立。即：当sin（2n0-1）θ=■a2k-1sin2k-1θ时，cos（2n0-1）θ=（-1）■■a2k-1cos2k-1θ。则sin（2n0+1）θ=sin[（2n0-1）θ+2θ]=sin（2n0-1）cos2θ+cos（2n0-1）sin2θ=■a■sin■θ（1-2sin■θ）+（-1）■■a■cos■θ・2sinθ・cosθ=■a■sin■θ（1-2sin■θ）+（-1）■■a■cos■θ・2sinθ=■a■sin■θ（1-2sin■θ）+（-1）■■a■（1-sin2θ）k・2sinθ。同理可得：cos（2n0+1）θ=cos[（2n0-1）θ+2θ]=cos（2n0-1）cos2θ-sin（2n0-1）sin2θ=（-1）■■a■cos2k-1θ（2cos2θ-1）-■a■sin2k-1θ・2sin■θ・cosθ=（-1）■■a■cos2k-1θ（2cos2θ-1）-■a■（1-cos2θ）k・2cosθ=（-1）■■a■cos■θ

（1-2cos2θ）+（-1）■■a2k-1（1-cos2θ）■・2cosθ

由以上两式可知：

若sin（2n0+1）θ=■b■sin■θ时，则cos（2n0+1）θ=（-1）■■b2k-1cos2k-1θ。

即n=n0+1时，命题也成立。

由（1）（2）知，对任意的自然数n命题都成立。

此定理反之依然。下面再对定理可以进一步推广。

推论1 若tan（2n-1）θ=f（tanθ），（n∈N），则cot（2n-1）θ=f（cotθ）。

证明：只需说明正切、余切奇倍数展开形式完全相同。

tan（2n-1）θ=■=■上下同除以

cos2n-1θ，=（-1）n+1■=（-1）n+1

■，同理：cot（2n-1）θ=■=（-1）■■。证毕。

推论2：若sec（2n-1）θ=f（secθ），（n∈N），则csc（2n-1）θ=（-1）n+1f（cscθ）。

证明：设sin（2n-1）θ=g（sinθ），（n∈N），由定理知：cos（2n-1）θ=（-1）n+1g（cosθ）于是，sec（2n-1）θ=■=（-1）■■=

（-1）■■，csc（2n-1）θ=■=■=■

从以上两式可以明显看出，正割和余割表示形式也最多只差一个符号。

例题1：已知f（cosθ）=cos（2011θ），求f2（sinθ）+f2（cosθ）的值。

解：由定理知，当f（cosθ）=cos（2011θ）时，f（sinθ）=-sin（2011θ），所以，f2（sinθ）+f2（cosθ）=sin2（2011θ）+cos2（2011θ）=1。

例题2：已知f（tanθ）=tan（2011θ），求f（tanθ）・f（cotθ）的值。

解：由推论1知，当f（tanθ）=tan（2011θ）时，f（cotθ）=cot（2011θ），所以，f（tanθ）・f（cotθ）=tan（2011θ）・cot（2011θ）=1。

例题3：已知g（cscθ）=csc（2011θ），求（g2（secθ）-1）・（g2（cscθ）-1）的值。

解：由推论2知，当g（cscθ）=csc（2011θ）时，g（secθ）=-sec（2011θ），所以（g2（secθ）-1）・（g2（cscθ）-1）=（csc2（2011θ）-1）・（sec2（2011θ）-1）=cot2（2011θ）・tan2（2011θ）=1。

综上所述，奇倍数多倍角同类三角函数展开式可以用同名的单倍角三角函数表示，其展开形式是非常相似的，最多只差一个负号（正切和余切展开形式完全相同）。利用这个性质可以非常方便的解决一些多倍角三角函数的展开问题。