直角三角形的“巧妙点”

笔者曾在《中学数学教学参考》中发表《一道简单题的不简单》一文.此文从课堂上一道简单的中考题出发，继而变式，让学生发现了一类图形的“巧妙点”的作法.之后笔者又在《中学数学》、《初中数学教与学》相继发表《“巧妙点”的再探究》、《矩形也有“巧妙点”》等文章，将共线三点、共线四点及具有“巧妙点”的矩形进行了深入的探索.近期很多读者与笔者交流文章中直角三角形“巧妙点”的问题，笔者经过再三斟酌，就此问题再次展开深入研究，愿与读者分享.1

原题呈现

平面上，若点P与两点A、B构成的PAB是等腰三角形，我们则称点P是两点A、B的“巧妙点”.类似地，平面上，若点P与三点A、B、C中的任意两点构成的PAB、PBC、PCA均是等腰三角形，我们则称点P是三点A、B、C的“巧妙点”，或称点P是ABC的“巧妙点”.

原文指出：作出AB、BC的垂直平分线，其交点P就是A、B、C三点的“巧妙点”，也就是说ABC的外心即ABC的“巧妙点”.但RtABC的外心为斜边的中点，与斜边两个端点不构成等腰三角形，所以直角三角形除外.

那么直角三角形是否存在“巧妙点”呢？

原文给予了如下回答： 直角三角形也有可能存在“巧妙点”，如图1、图2（两圆交点在另一边的垂直平分线上），图3（三圆相交于同一点）， 但三种情形的直角三角形两条直角边有着特殊的比例（课后请计算出这个比值）.

[TPhjq-1.tif，BP][TS（][JZ][HTK]图1 图2 图3[TS）]

2

深入探究

2.1 作出直角三角形的“巧妙点”

事实上，三角形平面内存在一点到三个点的距离均相等，此点为三角形的外心，可是直角三角形的外心为斜边的中点，与斜边的两个端点不构成等腰三角形，所以直角三角形的外心不为“巧妙点”.但也有可能存在到三个点的距离不全相等的点并能使它与直角三角形任意两点所构成的三角形为等腰三角形，这就意味着直角三角形有可能存在“巧妙点”，但这样的直角三角形有一定的要求，以图1的情况为例：以点A为圆心，AC的长为半径作A，以点C为圆心，CB的长为半径作C，两圆交于点P，当点P在AB的垂直平分线上时，该点就为直角三角形的“巧妙点”.

因为在A、C 中，CA=AP，CB=CP，所以PAC、PCB为等腰三角形，因为点P在AB的垂直平分线上，所以PA =PB，即PAB为等腰三角形，故点P为直角三角形的“巧妙点”.

2.2 存在“巧妙点”的直角三角形的两条直角边的比值[TPhjq-2.tif，Y][TS（][JZ][HTK]图4[TS）]

根据上面的结论，直角三角形有可能存在“巧妙点”，当A、C与AB的垂直平分线交于一点，即为“巧妙点”P时，如图4，过点C作AB的垂直平分线EP的垂线CF，垂足为F.

不妨设AB= x，BC=1，因为P在AB的垂直平分线上，

所以AE =BE =

3 推广运用

根据上面的探究发现，该题与矩形的“巧妙点”的结果相同，当矩形长与宽的比值为时，该矩形具有“巧妙点”，仔细思考便会发现其中的联系.

此题还可以进一步推广：如图3，三圆相交于同一点的直角三角形也具有“巧妙点”，此时该直角三角形的两条直角边的比值是多少？

[HT5”H]作者简介 [HTK]

何君青，男，江苏南京人，1987年生，主要从事数学课堂教学研究，曾被评为“南京市建邺区教学先进个人”，指导的学生在省数学竞赛中获得省一等奖，被评为“省优秀指导教师”，近3年发表文章10余篇.