时间:2022-08-27 11:13:48
知识要点:解不等式
解不等式是一项基础能力,广泛应用在集合运算、函数、线性规划等有关问题中.
一元二次不等式ax2+bx+c>0(或ax2+bx+c
先求根,然后结合函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象得到结论. 求根过程中优先考虑因式分解,如有困难再求判别式.口诀:“同号两根之外,异号两根之间.”
绝对值不等式xa)(a>0)的解法
① x
② x>ax2>a2x>a或x
③ f(x)
含有多个绝对值符号的不等式,可用“按零点分区间讨论去绝对值”的方法来解.
一元高次不等式的解法――标根法
① 因式分解:将一元高次不等式化为:(x-x1)(x-x2)・…・(x-xn)>0(或
② 画出曲线:先将每一个因式的根标在数轴上,再从最大根的右上方依次通过数轴上代表各根的点画曲线.如果数值相同的根出现偶数次,则曲线到达该点后弹回,不穿过数轴;如果数值相同的根出现奇数次,则曲线可以通过该点.口诀:“奇穿过偶弹回.”
③ 写出解集:根据所绘制曲线呈现的f(x)的符号变化情况,写出不等式的解集.
分式不等式的解法
① 移项:使不等式右边为0(标准化);
② 通分:使每一个因式中最高次项的系数为正(因式化);
③ 求解:用标根法,求解时注意分母不能为零.(注:必修不作要求)
其他函数不等式的解法
通法:以函数定义域为前提,统一函数名,利用函数单调性求解.
【提醒】
① 解分式不等式时,不能简单地在不等式两边同时乘以分母来化简,要注意讨论分母的正负情况,如果分母为负,乘以分母时不等式符号需要改变.
② 在解函数型不等式时,首先要使得所求解函数有意义,然后利用好函数图象及其单调性求解.
③ 含有参数的一元二次不等式问题是一类非常重要的常考题型,解答时要先依据常规思路求出两根,再结合二次函数图象确定开口方向求解. 莫忘二次项系数为0时是一次函数的情况,解答结果要写成区间或集合的形式.
【自查题组】
(1) 不等式ax2-ax-1
(2) 不等式>1的解集为 .
(A) {xx>4}
(B) {xx>或x
(C) {xx4}
(D) {xx>-2或x
(3) 不等式2x-1-x
(4) 不等式log (2x-3)(x2-3)>0的解集是 .
(5) 若不存在整数x满足不等式(kx-k2-4)(x-4)
知识要点: 集合的表示与运算
集合的概念:集合中的元素具有确定性、无序性、互异性的特征
解题中要注意互异性包含的暗示,如集合{a,2}隐含条件a≠2.
集合的表示方法:列举法、描述法
要注意描述法中代表元素的形式和意义,如{xy=},{yy=},{(x,y)y=}分别表示函数y=定义域、值域和点集的集合.
分清两类关系
① 元素与集合的关系,用∈或表示;
② 集合与集合的关系,用(子集),?芴或?奂(真子集),=(相等)表示.
最特殊的集合――空集“”
① 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
② 进行集合的交、并、补运算时,不要忘了集合本身和空集的特殊情况. 如A∩B=,要注意A=或B=这两种极端情况.
【提醒】
集合语言是高中数学的基础,近年以集合语言为基础的抽象表示、符号表示在高考考题中的分量逐年增多,应加强对这类数学语言的理解和掌握.
① 碰到用描述法表示的集合时,首先要看清集合中代表元素的形式,其次看它满足的性质,明白其表示的意义. 注意元素与集合是一种相对关系.
② 解决集合运算问题时,要善于借助数轴或韦恩图这些图示工具对集合进行分析和求解,同时不要遗漏边界值、空集等易被忽略的情况.
【自查题组】
(6) 若集合A={x+y=cc∈R},B={x2+y2=r2r>0},则集合A∩B的子集的个数是 .
(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 1或2或4
(7) 设A={1,2,3},B={xxA},则下列关系表述正确的是 .
(A) A∈B (B) AB (C) A?勐B (D) AB
(8) 已知集合A={-1,1},B={xmx=1},且A∪B=A,则m的值为 .
(A) 1 (B) -1 (C) 1或-1 (D) 1或-1或0
(9) 已知集合A={xx=2n-1,n∈Z},B={xx2-4x≤0},则A∩B= .
(A) {1} (B) {x1
(10) 对于集合M,N,定义M-N={xx∈M且xN},M?茌N=(M-N)∪(N-M),设A={yy=3x,x∈R},B={yy=-(x-1)2+2,x∈R},则A?茌B=
.
(A) [0,2) (B) (0,2]
(C) (-∞,0]∪(2,+∞) (D) (-∞,0)∪[2,+∞)
知识要点:简易逻辑
命题的否定与否命题
对“pq”型命题来说,“pq”的否定是pq,否命题是pq.
非“pq”型命题无否命题概念,对于命题的否定p掌握以下常考模式即可:
① 全称命题p:?坌x∈M,p(x),p的否定p:?埚x∈M,p(x);
② 特称命题p:?埚x∈M,p(x),p的否定p:?坌x∈M,p(x);
③ 命题“p或q”的否定是“p且q”,命题“p且q”的否定是“p或q” .
判断命题充分性与必要性的三个要点
① 首先要明确哪个作为条件、哪个作为结论,然后根据定义判断:由条件可推出结论时,则条件是结论成立的充分条件;由结论可推出条件时,则条件是结论成立的必要条件.
解题时先根据题目中的问题判断哪个是条件、哪个是结论,然后把条件放前面、结论放后面:条件结论,判断为充分条件;若条件?坩结论,则判断为必要条件.
② 很多与字母有关的判断问题,可以从找寻条件和结论的联系入手,然后结合集合间的包含关系来理解和判断.
若AB,则x∈A是x∈B的充分条件,x∈B是x∈A的必要条件;
【参考答案】
(1) {a-4
(2) C
(3) {x0
(4) {xx∈(,2)∪(2,+∞)}
(5) {k1≤k≤4} 【当k>0时,可得x-(x-4)
当k=0时,显然存在整数x满足题意.
当k0,由于=k+≤-4,显然也存在整数x满足题意.
综上所述,解得{k1≤k≤4}】
(6) A 【一定要清楚集合A与集合B中元素的形式和意义不同,所以交集为空集,而空集的子集仍然为空集,所以答案为A】
(7) A 【要分清集合和元素的相对性. B集合应这样理解:它的元素是A集合的子集,如{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}和空集,所以应选A】
(8) D 【不要漏掉B为空集的情况】
(9) C
(10) C
(11) C
(12) A
(13) C 【利用集合间的包含关系,找出必要条件的选项,符合条件的只有C】
(14) C 【由题意得: f=f-φ=kπ, “f(x)是偶函数”φ=kπ,所以f=f- f(x)是偶函数,答案选C】
(15) B 【“便宜没好货”即“便宜”“没好货”,它的逆否命题为:“好货”“不便宜”,据此判断,答案为B】
若BA,则x∈A是x∈B的必要条件,x∈B是x∈A的充分条件;
若A=B,则x∈A是x∈B(或x∈B是x∈A)的充要条件.
可以记为“大是小必要,小是大充分”.
③ 对于条件或结论是不等关系(或否定式)的命题,可利用原命题与逆否命题等价的性质,即ABBA来判断.
【提醒】
简易逻辑作为高中逻辑判断的理论基础,有助于我们加强对概念、定理和性质等命题的理解和认识.学习时应注意形式化的语言的书写,如写原命题、否命题、逆命题、逆否命题四种命题形式或含有全称量词、特称量词的命题的否定形式等. 命题的充分性和必要性的判断是一个重要的考点,应注意审题,找出联系,分清条件和结论,善于运用集合工具.
【自查题组】
(11) 命题“若xA则y∈B”的否命题是 .
(A) 若xA,则yB (B) 若y∈B,则xA
(C) 若x∈A,则yB (D) 若yB,则xA
(12) 已知命题p:?埚n∈N ,2n>1000,则p为 .
(A) ?坌n∈N ,2n≤1000 (B) ?坌n∈N ,2n>1000
(C) ?埚n∈N ,2n≤1000 (D) ?埚n∈N ,2n
(13) “不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是
.
(A) m> (B) 0
(C) m>0 (D) m>1
(14) 已知函数f(x)=cos(x+φ),则“f=f-”是“f(x)是偶函数”的 .
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
(15) 人们常说“便宜没好货”,这句话的意思是:“不便宜”是“好货”的 .
(A) 充分条件 (B) 必要条件
(C) 充分必要条件 (D) 既非充分也非必要条件