换元法求二次型函数的值域

一元二次函数的值域非常重要,但在实际学习中,直接求二次函数的值域的情况并不是很多,相反,以其他函数为载体,需要转化成二次函数后再求值域的二次型问题却非常多,本文对如何使用换元法求常见的几种二次型函数的值域作一简单介绍.

1.含有二次根式的二次型

[分析]观察其中自变量x出现的位置及其指数的情况,可以发现加号前面的有理项中的x的次数是加号后面无理项中的 x 的次数的2倍(前面的 x 是一次的,后面的 x 是二分之一次的),这两项构成了事实上的二次项和一次项的关系,因此可以使用换元法转化成二次函数的值域问题.

说明:使用换元法的时候,无论在什么情况下,都要保证新的变元与换掉的代数结构的取值范围相一致,这围,以防出错.

2.含有指数式的二次型

例2:求函数 y =4 x + 2 x+1 +3的值域.

[分析]根据指数式的运算法则,4 x =(22)x= (2 x)2,2 x+1 = 2 x・2 1 = 2・2 x,因此可考虑把原函数看成是关于 2 x 的二次函数来解决问题.

解: y =(2 x)2 + 2・2 x+3,令2 x=t,则 t >0,且

y = t2 +2 t +3=( t +1)2+2,( t >0).

t >0,y>(0+1)2+2=3.

函数 y = 4 x+2 x+1 +3 的值域为( 3,+∞).

3.含有对数式的二次型

例3:求函数 y =( log 2 x )2+log 2 x2+2 的值域.

[分析]根据对数的运算法则,log 2 x2=2 log 2 x,因此可以把原函数看成是关于 log 2 x 的二次函数.

解:y=( log 2 x )2 +2 log 2 x+2,令log 2 x = t,则 t∈R,且 y = t 2+2 t+2=( t+1 )2+1,( t∈R ).

函数y=(log 2 x)2 + log 2 x2+2 的值域为 [1,+∞).

4.含有特殊三角函数式的二次型

例4:求函数 y = cos2x+4sinx 的值域.

[分析]原函数是由两个不同名也不同角的三角函数相加而成,因此先要根据二倍角公式 cos2 x=1-2sin2 x,将它们化成同角同名的三角函数.这样就可以把原函数看成是关于 sin x 的二次函数了.

解:cos2x=1-2sin2x ,y=1-2sin2x+4sinx.

令sinx= t,则-1≤ t ≤1,

并且 y =-2 t2+4 t+1=-2(t-1)2+3.

-1≤t≤1,

-2(-1-1)2+3≤y≤-2(1-1)2+3,即-5≤y≤3.

函数 y = cos 2 x + 4 sin x 的值域为 [-5,3].

说明:如果在一个关于三角函数的解析式中同时出现了 sinx ± cosx 和 sin x cos x 这样两种结构,并且除来确定.