探寻奇妙的“欹器之谜”背后的物理原理

在璀璨的华夏瑰宝中，曾经出现过一种称为“欹器”的奇特陶器，它腹大、口小、底尖并带有两个提耳.史书《孔子家语·三恕》中记载：它“虚则倾，中则正，满则覆”，也就是说，欹器空的时候是倾斜的，装一半水的时候是直立的，装满水后又会翻倒.由于它与儒家“谦受益，满招损”的思想契合得很好，因此古代有人就将其置在桌右，作为警戒之器，鲁国公甚至将它作为圣器放在庙中祭祀.可惜的是，史书对于这种容器的原理却没有记载，而且后来这种神秘的东西也失传了，史称“欹器之谜”.

实际上，欹器的这种奇特性质与物理学中平衡的种类有关.加水前后整个装置重心的位置并不相同：未装水的时候，由于底部较上半部分尖锐，整体重心在提耳的上方，处于不稳定平衡状态，在受到扰动后欹器一般处于倾斜状态；当加水后，重心回到提耳的下方，处于稳定平衡状态，欹器直立；当加满水后，由于上半部分的体积比下半部分大，因此重心重新回到提耳的上方，又处于不稳定平衡状态，稍有扰动就会“满则覆”.

由此可见，欹器的奇妙之处就在于重心位置的升降会改变它的 平衡状态.研究物体的平衡种类在机械、建筑等设计领域具有重要的应用价值，控制物体不同的平衡态势，增加物体平衡的稳定很有实际意义.同时，在物理奥赛中，物体平衡种类的判定也是常见的赛点之一.

物体平衡的种类分为三种：不稳定平衡，稳定平衡以及随遇平衡.稳度说明了物体的稳定程度，一般说来，使一个物体的平衡遭到破坏所需要的能量越多，这个平衡的稳度就越高，重心越低，支面越大稳度越高.

一般来说，常见的平衡种类的判定方法有：

1 从分析物体受力入手，研究物体受到的合力方向与位移方向之间的关系

假设给物体一个扰动，使其偏离平衡位置，如果此时合力的方向指向平衡位置，物体将在合力的作用下重新回到平衡位置，因此物体处于稳定平衡状态，如果合外力背离平衡位置，则为不稳定平衡，若受到的合力为零，则该物体处于随遇平衡状态.

例1 质量各为M1，M2的两个星体相距L，一个质量为m的小星于两星体的连线上，求小星体的平衡位置，并分别讨论对小星体沿连线方向的扰动和垂直于连线方向的扰动，其平衡的稳定性.

解析 设小行星的平衡位置离M1的距离为l，它受到

5.2 电涡流测厚仪

金属导体内产生的电涡流所建立起来的反磁场以及电涡流要消耗一部分能量，这些作用都将“反射”回去，改变激励线圈的等效电感，通过测量电路，将受影响后的等效电感转换成电压，从而可以测量金属材料的厚度.电涡流测厚仪特别适合在冶金工业上对带材的尺寸进行自动检测.

5.3 电涡流传感器测

当其它相关参数不变时，电涡流激励线圈阻抗Z就仅仅是线圈与导体间的距离x的单值函数.通过与之配用的测量电路测出阻抗Z的变化量，转换为电压，就可用电涡流传感器实现了对距离（位移）x的测量.用这种传感器可以测量主轴的轴向窜动，钢水液位等.

5.4 电涡流探伤

电涡流传感器可以用来检查金属的表面裂纹，还可用于焊接部位的探伤等.让传感器与被测体距离不变，如有裂纹出现，将引起金属的电阻率、磁导率的变化，也可以说有位移值的变化.这些综合参数的变化将引起电涡流传感器线圈参数的变化，通过测量电涡流传感器线圈参数的变化即可达到探伤的目的.

5.5 电涡流传感器测转速f为频率值（Hz）；x为旋转体的齿数；N为被测轴的转速（r/min）.这样，就可以得到被测旋转轴的转速.

5.6 电涡流式传感器测振幅

电涡流传感器可无接触地测量各种振动的幅值.常用电涡流式传感器测量主轴的径向振动，也可以测量涡轮叶片的振幅.

此外，电磁炉也是电涡流效应的一种典型应用产品.M1，M2的万有引力应该相等.

可见，当小星体在二者连线方向上偏离平衡位置时，合外力表现为一斥力，它将推动小星体离开平衡位置，因此它处于不稳定平衡状态.

Ⅱ.当受到垂直于连线方向上的扰动时，它将受到M1，M1两星体的引力作用，两引力大小相等，夹角为钝角，合力方向指向平衡位置，与x的方向相反，因此处于稳定平衡状态.

2 从分析物体的重心入手，研究受扰动后重心的升降情况

分析重心的升降是判断平衡种类最常见的方法.它的一般特征是，物体在重力和支持力作用下保持平衡.具体过程是，给物体扰动，使其稍微偏离平衡位置，若重心升高，则为稳定平衡；若重心降低，则为不稳定平衡；如果重心的高度不变，则为随遇平衡.

例2 如图3所示，一个熟鸡蛋的圆和尖两端的曲率半径分别为a、b且长轴的长度为l，蛋圆的一端可以在不光滑的水平面上稳定直立，求蛋尖的一端可以在一个半球形的碗内稳定地直立，试分析碗的半径r需满足的条件.

通过例2可以看出，究竟用受力分析法还是用力矩分析法关键看物体的受力特征，有时二者皆可.一般来说，杆状的物体，受到多个平行力，多用力矩比较法.回到本文的欹器，对欹器也可利用力矩分析，未注水时，重心在提耳的下方，扰动后，重力矩使其返回平衡位置，处于稳定平衡状态；注水后重心高于提耳时，扰动后重力矩使物体背离平衡位置，处于不稳定平衡状态，重心在提耳连线上时，合力矩为零，处于随遇平衡状态.

综上所述，三种判别方法均有共同之处，关键在于，设计一个微小的扰动，使物体偏离平衡位置，然后利用合力方向法或力矩分析法或重心升降法进行判定，至于具体用什么方法，择简而从.难点在于，扰动是一个微小的过程，常常需要使用合理的数学近似.