数理统计的学习技巧研究

概率论与数理统计是大学理工、经管类专业的一门重要基础课,概率论的知识和技术在科学研究、国民经济以及日常生活中都被广泛地应用。鉴于这门课程的特点,传统的教学方法注重理论的推导,不能很好地给学生一个直观上的理解,忽略了概率知识的实际应用背景,使得应用性很强的一门课程与实际存在一定的差距。如何培养学生的学习兴趣,提高概率统计这门课程的教学质量,是每一位从事该门课程教学的教师在思考的问题。我们结合概率论这门课的教学,谈谈如何培养学生的学习兴趣,给出有利于这门课学习的一些粗浅的方法。

1了解概率论的发展历程

学好一门课程,首先要对其历史有所了解,知道这门学科的一些基本问题以及概念公式的来历。概率论起源于游戏,17世纪中叶法国贵族梅勒在中遇到了这样一个问题:甲乙两名赌徒进行一场,约定谁先赢到7局为胜者,现甲赢了5局,乙赢了4局,赌局因事终止,问赌资如何分配？梅勒就此问题向法国数学家帕斯卡及费马求教。此时荷兰数学家惠更斯恰巧在巴黎游学,得知此问题后,于1657年在其著作《论游戏中的计算》中独立解决,这也是概率论中的第一篇论文,也标志着我们概率论的诞生。他们三人提出的解法中,都首先涉及了数学期望这一概念,并由此奠定了古典概率论的基础,这一时期也被成为古典概率阶段。随着概率论在各个学科以及社会各领域的应用,一大批非常优秀的学者投入到其研究中来。瑞士人雅克比-贝努力在遗作《猜度术》中首先提出并证明了概率历史上第一个大数定律,即贝努力大数定律,深刻的揭示了频率与概率之间的关系。棣莫佛在《分析杂论中》提出了乘法原理以及正态分布等概率中的一些非常重要的概念并介绍了概率中另外一个非常重要的极限定理,即中心极限定理。概率论发展到1901年,中心极限定理才被严格的证明了,及后数学家利用这一定理第一次科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从以正态分布。这一时期,一个标志性的事件是拉普拉斯1812年在其著作《概率分析理论》中阐述了概率的古典定义,这也标志着概率成为一门数学学科。这一阶段,特征函数,差分方程等分析工具被应用到概率论的研究当中,故也称为分析概率阶段。

2一些概念及公式的直观理解

在概率论的学习当中,有三组公式非常重要的,即乘法公式,全概率公式及贝叶斯公式。按照通常的方法授课,即利用数学推理得到这些公式,学生虽然可以记住公式的形式,但在做题中很难能够灵活运用。这三个公式本来是用来解决实际问题的,有其直观背景。通过一年来的教学实践,我们给出其实际背景。对于乘法公式,其中,我们可以这样来理解:事件本身比较复杂,求其概率时,可以将其分解为n个步骤。做完一步后,再来看下一步,依次类推。这样全概率公式的直观背景就很清楚了,学生也容易理解。令Β1,...Βn为样本空间S的一个划分,且,则对任何事件A,我们有全概率公式:。我们可以将A事件看成是煤矿发生矿难这一事件,Β1,...Βn可以视为导致矿难发生的原因,全概率公式就给我们提供了一种风险评估的方法。同样的对于贝叶斯公式:,我们可以看作矿难A发生后,责任的分派问题。如果全概率公式可看成“由因索果”的话,贝叶斯公式即为“由果索因”。在应用这两个公式时,关键是要找到所有原因,即样本空间的划分,以及结果,这样就可以有的放矢。

3借助多媒体制作仿真画面组织情景教学

在学习频率的稳定性及概率的统计定义时,如果利用多媒体,模拟出一口袋中放有大小、质地完全相同的10只球,只有黄、白两种颜色,每次只能摸出一球,观察其颜色,然后放回再摸,摸500次、1000次、1500次、2000次、10000次、15000次、50000次、100000次或更多次球,让学生计算出摸到黄球的频率,再分析其中黄球的只数,教师引导他们分析总结得出结论。通过这种方式学生很容易理解频率的稳定性及概率的统计定义等问题。以上各环节制作成仿真的多媒体画面,学生从虚拟的场景中便可学到频率的稳定性及概率的统计定义,从而大大提高学生的学习兴趣及对知识的理解能力。

4概率论与数理统计的理论框架

学任何一门课,学生都应该要知道这门课要解决的主要问题,大体上的理论框架。概率论与数理统计主要是研究随机现象的规律性的一门学科。如何研究,就要做随机试验,然后把随机现象看成样本空间中的事件,研究规律性,也就是要求事件的概率。事件即为集合,是一个比较抽象的概念,也就需要把事件数量化,引入随机变量的概念,把事件的概率转化为应用高等数学的知识研究随机变量的性质。我们知道随机变量的统计规律性完全可以由其分布函数来确定,即分布函数是一个整体概念。对于现实中的随机变量来说,有时候分布函数难以求出或者只需知道一些指标即可,我们引入了期望,方差,协方差等数字特征来刻画随机变量。其为局部概念,由分布函数得到这些数字特征是由整体到局部。从哲学观点来看,由局部完全回到整体是不可能的,但通过中心极限定理,我们可由数学期望,方差等部分回到整体,即对随机变量的分布函数做出近似估计。那么在现实应用中,如何确定数学期望,方差等数字特征呢？这就是数理统计部分所讲的内容了,即通过点估计,区间估计以及假设检验等方法给出这些数字特征的估计量。这就是我们这门课大体上的理论框架。

总而言之,由于概率统计的现实应用性很强,在讲解课本理论的同时,我们需要不断的联系实际,做到理论与实际的结合,让学生对我们这门课有生动,直观及全面的认识,不断培养学生的学习兴趣与积极性。