例析无棱二面角求解策略

二面角是立体几何中的重要知识点.求二面角的大小则是一个难点，特别是当二面角的棱没有给出时，则是难上加难.下面以2010年陕西高考题为例，介绍几种常见的求解无棱二面角的方法.

图1

例 如图1，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，AP=AB=2,BC=22,E,F分别是AD,PC的中点.

求平面BEF与平面BAP夹角的大小.

分析：平面BEF与平面BAP的夹角即为平面BEF与平面BAP所成的锐二面角.

方法１：垂面法

在图中找到或作出一个与二面角的两个半平面均垂直的平面，此平面截得的图形便是二面角的平面角.

如图１，PA平面ABCD,BC平面ABCD，

PABC.

又BCAB,AB∩PA=A，

BC平面BAP.

又BC平面PBC，

平面PBC平面BAP.

易证，PC平面BEF，PC平面BEF，

平面PBC平面BEF.

所以∠PBF是所求二面角的平面角.

PB=PA2+AB2=22,PF=12PC=12AB2+BC2+PA2，

sin∠PBF=PFPB=22,∠PBF=π4.

即平面BEF与平面BAP夹角为π4.

方法２：平移平面法

如果两平行平面同时与第三个平面相交，那么这两个平行平面与第三个平面所成的二面角相等或互补.利用此结论可以平移某一平面到合适的位置以便作出二面角的平面角.

图2

如图２，取BC的中点G，连接FG,EG.

E,F分别AD,PC是的中点，

EG∥AB,FG∥PB.

又FG∩EG=G,AB∩PB=B，

平面EFG∥平面BAP.

二面角B-EF-G的大小就是平面BEF与平面BAP夹角的大小.

可以证明∠BFG为二面角B-EF-G的平面角，并求出其大小为π4.

方法３：射影法

利用公式cosθ=S′S，其中S表示二面角的一个半平面内某个多边形的面积，S′表示此多边形在另一个半平面射影的面积，θ表示原图形与射影图形所成的二面角.

如图３：取PB的中点H，连接FH,AH.

图3

F为PC中点，

FH∥BC,AE∥BC.

由解法１知，BC平面BAP，

FH平面BAP，AE平面BAP，

点F、E在平面BAP内的射影分别为H、A.

BEF在平面BAP上的射影为BAH.

可以证明BEF和BAH均为直角三角形.

HF∥BC,AE∥BC,HF=BC=12BC，

四边形HFEA为平行四边形.

EF=AE.

记平面BEF与平面BAP夹角为θ，则cosθ=SBAHSBEF=22.

所以θ=π4，即平面BEF与平面BAP夹角为π4.