时间：2022-08-22 06:56:26
摘要：本文主要介绍了平面拟合法和二次曲面拟合法，并通过实例用MATLAB对两种拟合模型的精度进行对比分析，得出了一些有实用价值的的结论。
关键词：GPS；曲面拟合；高程异常
GPS leveling height fitting by MATLAB
Liu Lei
（Central south forestry university of science and technology，Changsha 410004,China）
Abstracts：Plane fitting method and quadric surface fitting method are mainly introduced in this paper , and two fitting precision of the model were analyzed through the example by MATLAB, some useful conclusions are drawn.
Key words：GPS；Surface fitting；Height anomaly
中图分类号： P228.4 文献标识码： A 文章编号：
1 引言
我国规定采用正常高高程系统作为我国高程的统一系统，正常高是地面点沿铅垂线至似大地水准面的距离，通过水准测量确定。而大地高是由GPS网平差得到的基于WGS-84椭球面的高程，是指地面点沿法线方向到参考椭球面的距离。这就有必要找出GPS点的大地高与 正常高之间的关系，并将转换为。
如图1所示大地高与正常高之间的关系，其中，表示似大地水准面至椭球面间的高差，叫高程异常。显然，如果知道了各GPS点的高程异常值，则可由各GPS点的大地高求得各GPS点的正常高。
(1)
图1 大地高与正常高的关系
GPS水准高程，是目前GPS作业中最常用的一种方法。国内外用于GPS水准计算的各种方法组要有：绘等值线图法；解析内插法（包括曲线内插法、样条函数法和Akima法）；曲面拟合法（包括平面拟合法、多项式曲面拟合法、多面函数拟合法、非参数回归曲面拟合法和移动曲面法）等，本文主要介绍曲面拟合法。
2 曲面拟合的原理
曲面拟合法的基本原理是将高程异常近似看作一定区域内个坐标的曲面函数，根据测区中已知点的平面坐标和值，用数值拟合法求出函数的拟合系数，确定测区的似大地水准面，再内插出待求点的，从而求出待求点的正常高。
设测区内任一点的平面坐标为，高程异常为，它们有以下关系
（2）
式中，为中趋势值，为误差。
设
（3）
写成矩阵形式有：
（4)
对于每个已知点，都可列出以上方程，根据最小二乘原理，解出各，再按（4）式求出待求点的，从而求出。
需要指出的是，在拟合计算时，由于系数阵的数量级较大，从提高精度和效益的方面考虑，平面坐标最好规格化到-1～+1，规格化后分别为：
式中，对应于的规格化坐标；分别为测区内平面纵（横）坐标的最小值和最大值。对测区范围内的任意一点、。
当多项式中系数的最高次幂为一次时，即为一次曲面拟合（平面拟合），当最高次幂为二次时，即为二次曲面拟合，以此类推。现分别介绍平面拟合和二次曲面拟合。
2.1 平面拟合法
（5）
若测区内有n(n>3)个联测点，则根据（5）列出误差方程
（6）
其中，
， ， ，
根据最小二乘原理，
可得法方程：
所以，系数阵
（7）
解出各后，再按（5）式求出待求点的，从而由（1）式求出。
2.2 二次曲面拟合法
（8）
若测区内有n(n>6)个联测点，则根据（8）列出误差方程
（9）
其中，
，，，
根据最小二乘原理，
可得法方程：
所以，系数阵
（10）
解出各后，再按（8）式求出待求点的，从而由（1）式求出。
3 精度评定方法
为了客观评定GPS水准计算的精度，在布设几何水准联测点时，应适当多联测几个GPS点，其点位也应均匀地分布全网，作为外部检核时备用。
内符合精度
根据参与拟合计算已知点的值与值，用求拟合残差，按下式计算GPS水准拟合的内符合精度
（11）
式中，为的个数。
（2）外符合精度
根据检核点的值与拟合值，用求拟合残差，按下式计算GPS水准拟合的外符合精度
（12）
式中，为检核点数。
GPS水准精度评定
①根据检核点至已知点的距离（单位：公里），按表1计算检核点拟合残差的限值，以此来评定GPS水准所能达到的精度。
②假设水准高程值为该点的正常高程真值，拟合高程为观测值，则真值与观测值的差值v即视为GPS点间的往返高差不符值，每km高差中数偶然中误差为：
（13）
式中：v为检测已测测段高差之差，mm；R为测段长度，km，通常取3km；n为测段数。
将按（13）计算得到的结果与表1中的限值比较，来衡量GPS水准达到的精度。
表 1GPS水准限差
4 基于MATLAB的曲面拟合功能实现
4.1算法流程图
为了对GPS高程拟合的整个操作流程更加清晰透彻，现提供算法和流程图如下:
数据导入：利用MATLAB以矩阵形式导入所需点位的坐标、大地高和正常高。MATLAB中的矩阵可由M文件（命令文件）、文本文件（txt文件）、excel文件和dat文件等生成，通常对于大型矩阵，用此方式十分方便。
曲面拟合：针对平面拟合和二次曲面拟合设计了相应的程序，在导入原始数据后，选择适当的曲面拟合方法，求解出系数，并进行内符合精度和外符合精度的评定，判断拟合效果。
结果输出：若拟合结果未满足要求，则要剔除不符合要求点，重复步骤2）。解算结果合格后，能够实现残差图和高程异常图的绘制，输出拟合结果，实现高程拟合的功能。
4.2 应用实例
针对平面拟合和二次曲面拟合，用MATLAB编写了GPS高程拟合的相关程序，并用实例验证其可行性。本文以某一测区为例，对D级GPS网中的18个点联测四等水准（其点位分布如图2所示，其坐标和高程异常如表2所示），选取其中9个点2、3、4、5、7、10、16、17、18作为已知点进行拟合，另外9个点1、6、8、9、11、12、13、14、15作为检核点。在选点时，测区的GPS点分布应比较均匀，并尽可能包含在已知点连成的几何图形内，避免出现外推的情况。
已知点：
检核点：
图2 点位分布
表2 坐标和高程异常
从表2中的高程异常值可以看出，该测区的局部似大地水准面较为平缓，没有出现较大波动，可以用平面拟合和二次曲面拟合进行近似拟合计算。为了评价两种模型拟合的精度，将拟合残差V视为高差之差与相应等级的水准测量闭合差限差进行比较，取GPS 点到最近已知点的平均距离为L，拟合结果见下表3所示
表3 平面和二次曲面GPS高程拟合结果对比
1）平均距离L为3km，四等水准限差，五等水准限差。
2）每km高差中数偶然中误差，平面拟合：，。
图3 残差比较图
由上表3及残差比较图3可看出，二次曲面拟合比平面拟合残差波动小，较稳定，拟合效果优于平面拟合；平面拟合不能满足四等水准要求，但可以满足五等水准要求，主要原因是平面拟合仅适用于地势较平坦的小区域；二次曲面拟合能满足四等水准要求，能较好的拟合起伏变化的似大地水准面；二次曲面拟合精度和可靠性优于平面拟合，这除了与起算点的精度、分布和数量有关外，与拟合的方法有密切关系。
5 结论
研究表明：在范围不大的平坦地区，如果拟合点有足够的水准精度和密度，且均匀地分布全网，平面拟合可满足五等水准限差要求，二次曲面拟合可满足四等水准限差要求，均能满足中、小比例尺测图的需求。为了提高GPS水准高程拟合精度, 对含有不同地形趋势的测区应采用分区计算的方法，对由局部地形引起的高程异常的短波项应给予剔除。与传统水准测量相比较，曲面拟合既能满足精度的需求，又可提高速度和效率，具有广阔的应用前景和研究价值。
参考文献
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