盒球数的性质及其在熵序中的应用

摘 要： 本文通过讨论“盒子分小球”的一个排列组合数学，建立盒球数概念和熵序概念，然后对其概念性质作出证明和对熵序值进行计算，最后指出了熵序在系统中的物理意义。本研究旨在通过对一种复杂的计算系统建立一个度量，简化其计算方法。

关键词： 盒球数 熵 熵序 系统

1.盒球数

1.1盒球数的概念

在引入盒球数之前，笔者先给出一个“盒子分小球”的排列组合问题。简单地说，“盒子分小球”问题就是现在有n个没有区别的小球随机的放到k个盒子中去，有多少结果？（n是自然数，k是正整数，下同）

对该问题详细阐释一下，一共有n小球，k个盒子，假设盒子足够大，小球足够小，也就是说一个盒子可以装无限多个小球，每个盒子都可以把n个小球全部装完，不用担心小球装不下的问题。现在我们把全部小球随机放到每个盒子当中，每个小球放到任何一个盒子中的概率都是相等的。

该问题要注意以下3点：

a.小球是完全相同的，没有差别。

b.盒子是有序号排列的，有差别。

c.对于每一种“盒子分小球”的结果，不会有小球落在“盒子”的外面，也不会因为“盒子”的容量问题而装不下。

为方便起见，这里给出一种数学表示方法，来表示“盒子分小球”问题的结果数――“盒球数”：X。

1.2盒球数的解法

这里我们运用“排列组合”中的挡板法来解决。

解：用数字“1”来表示“挡板”，用数字“0”来表示“小球”。则“挡板”之间的“小球”数就是每一个“盒子”里所装的“小球”数。而k个“盒子”只需（k-1）个“小球”就可以了，正如“一刀两断”之意，（k-1）“刀”便可以切成k段。

至此，“盒子分小球”的问题便转化成了这样一个“1-0组数”的问题了：有（k-1）个数字“1”和n个数字“0”，用这（k-1）个数字“1”和n个数字“0”可以组合成多少个“正整数”呢？

这样就容易多了，这样的“正整数”一共有［n+（k-1）］=（n+k-1）位数，因此，我们只需在这（n+k-1）位中选择n个位置来放数字“0”，或者说在这（n+k-1）位中选择（k-1）个位置来放数字“1”即可，因此

X=C=C（公式1）

1.3盒球数的基本性质

（1）一般的，因为k为正整数，所以有特殊的X=1。

（2）由公式1可知：

X=C?圯X=CC=C?圯X=X（公式2）

（3）X=X+X（公式3）

证明：左边=X=C

公式1?圯X=C公式1?圯X=C右边=X+X=C+C=C=左边，左边=右边，证毕。

（4）X=X=1（公式4）

证明略。

（5）X=X（公式5）

证明：由公式4和公式3，有：

X=X+X

X=X+X

X=X+X

…

X=X+X

?茌X=0+X

X=X+X+X+…+X

即X=X，证毕。

（6）X=X（公式6）

证明：

公式2?圯X=X公式2?圯X=X公式5?圯X=X?圯X=X

将上述等式中的（n+1）用k代替，（k-1）用n代替，得：

X=X，即X=X，证毕。

2.熵序

2.1熵和熵序的概念

德国物理学家克劳修斯（R.J.E.Clausius）于1865年提出了熵（Entropy）这个概念，用符号S来表示。如果一个物体的绝对温度为T，输入该物体的热量为Q，则该物体熵的增加量为：

S=S-S=（公式7）

式中：S――物体输入热量前的熵；S――物体输入热量后的熵。

这样定义的熵又称为热力学熵。

玻尔兹曼（L.Boltzmann）于1872年在研究气体分子运动的过程中，对熵提出了微观解释。他认为在由大量粒子（分子、原子）组成的系统中，熵表示系统的紊乱程度，系统越“乱”，熵就越大。

由此可见，熵是用来描述系统紊乱程度（或有序程度）的一个状态量。熵序指的是系统熵的所有可能取值的总数，用符号Sx来表示。拿一个宏观例子来比喻，竖直向上抛一枚硬币，落地后会有正面或反面朝上的两种状态，我们就说熵序是2。熵序用来表示系统的复杂程度，熵序越大，表示系统的复杂程度越大。

2.2用盒球数计算熵值

这里我们再回到前面的“盒子分小球”的问题，这个问题其实就是描述了一个拥有n个小球和k个盒子组成的系统，前面我们讨论的盒球数刚好就是这个系统的熵序。即

S=X（公式8）

下面举个例子，有这样一个系统，有10颗粒子分配到3个小室（1#小室、2#小室和3#小室）中，则该系统部分可能出现的状态及其出现的概率如下表所示。

表格1 系统部分状态的配容数及出现的概率

其中，配容数为计算概率时的分子值，表格1中的第三列和第四列这两种情况我们在计算熵序时是按照同一个状态计算的，根据公式8，本例中熵序为S=X=66，即该系统共有66种不同的紊乱状态。

3.结语

根据玻尔兹曼的解释，热力学中定义的熵可以看作能量在空间分布均匀性的度量，也就是物质系统中能量衰竭程度的度量。而熵序则表示系统中能量衰竭程度所有可能的状态数，并由此可以衡量系统中所有的能量衰竭状态的复杂度。

参考文献：

［1］杨家本.系统工程概论［M］.武汉理工大学出版社：12-13.

指导老师：谭静教授。

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