由悖论看概念的可操作性

摘 要：本文主要考察几个常见悖论，指出悖论的产生通常是由于其涉及的概念没有可操作性，并进行了一些分类，最后则把“说谎者悖论”转化为一个可用反证法证明的问题。

关键词：悖论；概念；可操作性

悖论是个很有趣的话题，如有名的“说谎者悖论”――“我在说谎”。这句话是真是假呢？假定它为真，将推出它是假；假定它为假，将推出它是真。

但悖论之所以悖，往往是因为其涉及的概念没有可操作性。区分起来，大致有以下几种情况：（1）概念本身就违反基本的科学定律或常识；（2）概念涉及的对象需要分类，但其分类却不够完备，没有考虑到所有的可能性；（3）概念的界定与通常意义不同，却又不加区分地混用，实际上就是偷换概念；（4）概念的界定不够明确，或者根本没有任何界定，无法应用于具体事物；（5）应用概念时，条件发生了变化，或者引入了额外的因素，而论证时却忽略了。当然，以上的分类并不是那么严格，相互间可能有交叉重叠，甚至有些情况可能都没有被涵盖。

实际上，“说谎者悖论”还包含一个隐性假设：单单从这句话我们可以判断它的真假。但这是不可能的，除了逻辑上永真或永假的命题，其他任何命题我们都不能只从命题本身来判断真假。事实上，“我在说谎”并不涉及任何实质性的内容，根本就无从判断。既然不可能，那么上面假定怎么样将会怎么样的推理，就只不过是毫无意义的屠龙术。其分类可归于（1），也可归于（2）。

再比如芝诺有名的“飞矢不动悖论”――射出去的箭是不动的：因为芝诺认为箭在每一个瞬间都有确定的位置，占据着和自身体积一样大小的空间，并由此认定箭在每一瞬间都不动；既然箭在每一瞬间都不动，它又怎么会动呢？我们必须说，芝诺对“不动”的界定并不符合通常的定义――在考察的时段内（无论多么短，都不能为零），每一个瞬间都在同一个位置；实际上，在一个长度为零的单一瞬间，是不可能定义“不动”的。而且，每一个瞬间都有确定的位置，并不必然意味着每一个瞬间都在同一个位置，还可以每一瞬间在确定但不同的位置――按照通常的定义，这其实就是“动”。另外，芝诺在悖论里并没有对“动”进行定义，事实上，如果把每一个瞬间都有确定的位置定义为“不动”，根本就不可能再定义“动”。分类上可归于（3），也可归于（4）。

芝诺还有一个“阿基里斯追龟悖论”，如果用箭代替阿基里斯，并假设乌龟不动，则该悖论可以简化为：一支箭永远不可能从A点飞到B点。仿照芝诺的“二分悖论”，可以这样论证：一支箭要从A点飞到B点，必先飞到AB的中点，而从中点到B点还有中点，……如此下去有无数的中点，永远不可能到达B点。当然，在“二分悖论”中，芝诺找中点的方向刚好和我们相反，但实质上是同一回事――用庄子的话说，即“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”

有人认为，该悖论的问题在于空间的无限可分性是不真实的――据说，古希腊的哲人提出原子论就是为了规避这一悖论。原子论当然可以规避这一悖论，但这似乎也不是问题的全部。还有人认为，悖论的根源是芝诺没有极限的概念，不知道无穷级数之和也可能收敛。但即使如此，如果你问芝诺：一尺之棰分无数段，再照原样接起来会是多长？我们想，他的回答应该是一尺，而不会是无限长。（不过，如果真这么想的话，不需要任何的数学技巧，芝诺至少是可以得出1=1/2+1/4+1/8+……的结论，至于这结论最早由谁提出，还有待考证。）

有一个问题是，“一尺之棰”和“万世不竭”是怎么联系起来的呢？“日取其半”！也就是说，“取其半”这个操作总对应一“日”的时间；或者说，空间虽然是无限可分的，但时间却不是。当然，芝诺并没有像庄子一样，明确规定他找中点的操作和时间之间的具体关系，但从操作性上考虑，我们认为，芝诺实际上是依赖了一个类似庄子那样的隐性假设。或者说，一支箭永远不可能从A点飞到B点，应该理解为：一支箭从A点飞到B点，需要无限长的时间。

但如果时间也无限可分，就不见得是悖论了。至少，我们是可以这样设想一个操作：让空间上一段距离对应一段时间间隔，相应于空间距离上找中点的操作，也有一个时间间隔上找中点的操作，两者一一对应，同时完成；并且规定每次找中点的操作所需的时间，就是上一次找中点后剩余时段的一半。这样，虽然操作仍是无限的，但总时间却是有限的，也就是说：一支箭可以在有限的时间内，从A点飞到B点。

也许有人说，即使时间无限可分，如果像下面这样来规定操作，似乎也还是悖论：第一次找中点的操作用1秒时间完成，第二次用1/2秒，第三次用1/3秒，……简而言之，即第n次用1/n秒。由于1+1/2+1/4+1/8+……是发散的，所以需要的时间仍然是无限长。

真正的问题其实在于，不论是这个操作，还是“日取其半”的操作，实际上都是规定箭在减速运动，而且箭趋近于B点时的极限速度为零。这显然违背伽利略的惯性原理：如果不考虑空气阻力以及重力影响的话，箭在射中目标前应该保持匀速直线运动；实际上，只有我们前面给出的操作，才满足这一要求。

当然，芝诺不可能知道惯性原理，不过，即使从古希腊运动需要力维持的观点看，减速也应该需要力是变化的。既然有变化因素存在，不同的情况得出不同的结论，实在是很自然的事情；各有原因的不同结论之间，当然不存在“悖”的问题。这样理解的话，分类可归于（5）。

下面，我们来看罗素悖论，《现代数学引论》的表述如下――“每个集合S本身不能又是S的元素”（也即S[?]S），“如果允许S∈S，就会混淆层次，导致矛盾。把一切集合分成以下A和B两类：A={SS[?]S}，B={SS∈S}。则每个集合都属于其中一类，我们问集合A属于哪一类？如果A属于A，这和A的定义矛盾；如果A属于B，自然A就不属于A，这有和B的定义矛盾。”

首先，这涉及到怎么理解“每个集合S”的问题。我们认为，“每个集合S”应该理解为――S可以代表任何一个集合：那么，如果允许S∈S，其实也就是说任何一个集合都具有自身是自身元素的性质，那就不可能还有自身不是自身元素的集合；同理，如果允许S[?]S，也就不可能还有自身是自身元素的集合。换句话说，集合要么只有A类，要么只有B类，不可能既有A类，又有B类。很显然，罗素并不是这么理解的。