转化与化归思想的应用

转化与化归思想，就是将待解决或尚未解决的问题通过转化或再转化，归结为一个已经解决的问题，或者归结为一个已为人们所熟知的具有既定方法或程序的问题，最终得到问题解决的思想方法。

一、数与形的转化

当我们面临内容抽象或不易捉摸的问题时，要设法将其转化为直观具体的问题，以便凭借事物的形象把握题中所涉及的各对象之间的联系，找到解题思路，即以形助数，揭示解题规律。

例1 （上海市四中2011届高三月考）已知集合A={(x,y)|x2+y2=1}，B={(x,y)|kx-y-2≤0}，其中x,y∈R。若AB，则实数k的取值范围是______。

分析 点集A由单位圆构成，点集B由平面区域构成，且随k的变化其范围发生改变。因为直线kx-y-2=0恒过定点M(0,-2)，原点O(0,0)在定点的上方，且满足不等式kx-y-2≤0，因而AB的实质是圆x2+y2=1在直线kx-y-2=0的上方，如图1。

解 依题意AB圆x2+y2=1在直线kx-y-2=0的上方圆心O(0,0)到直线kx-y-2=0的距离满足d≥r，即|-2|1+k2≥1，解得-3≤k≤3，

即k∈［-3,3］。

点评 正确理解各个点集的含义，挖掘隐含条件，以形助数，等价转化是解题的关键。

练习 （上海嘉定区2011届第三次高三联考）已知命题p：|1-x-13|≤2，命题q：x2-2x+1-m2≤0（m>0），p是q的必要而不充分条件，则实数m的取值范围是____。

解 解|1-x-13|≤2得到-2≤x≤10，p对应集合A={x|-2≤x≤10}。设q对应集合为B，由p是q的必要而不充分条件得到q是p的必要而不充分条件，即AB。设g(x)=x2-2x+1-m2（m>0），则g(x)的图像开口向上，对称轴为x=1，g(-8)=g(10)，从而B［-8,10］，所以只需g(10)=81-m2≤0，解得m≥9或m≤-9。

二、函数与方程的转化

函数可以看做方程，某些方程可以看做是函数关系。在解决有关问题时，函数、方程、不等式常常可以相互转化。值得注意的是，方程问题、不等式问题和某些代数问题可以转化为相关的函数问题，即可以用函数思想来解决非函数问题。

例2 （浙江省杭州市七校2011届高三联考）已知函数f(x)=xex-ax-1，则关于f(x)的零点下列叙述正确的是( )

A.当a=0时，函数f(x)有两个零点

B.函数f(x)必有一个零点是正数

C.当a

D.当a>0时，函数f(x)有一个零点

分析 因为f(x)的解析式中含有参数a，利用函数零点存在定理结合函数在某个闭区间上的单调性（导数法）是很难判断的。若转换视角，利用函数y=f(x)有零点方程f(x)=0有实数根y=g(x)与y=φ(x)的图像有交点（其中f(x)=g(x)-φ(x)，g(x)与φ(x)的图像是熟知的图像或由熟知的图像作简单变换得到的图像）来进行判定。

解 若函数f(x)=xex-ax-1有零点，则方程xex-ax-1=0有解，易知x≠0，于是xex-ax-1=0有解等价于方程ex=a+1x有解，即函数y=ex与y=1x+a的图像有交点。因为y=ex是R上的增函数且ex>0；y=1x+a在(-∞,0)和(0,+∞)上均单调递减，画出图像可知，当a=0时，两函数图像只有一个交点（其横坐标为正数）；当a>0时，两函数图像有两个不同的交点（其横坐标为一正一负）；当a

点评 当a=0时利用导数法知f(x)在(-∞,-1)上递减，在(-1,+∞)上递增，并且最小值为f(-1)=-1e-1，若草率画出草图则可能误选A。本题通过函数与方程的转化、数与形的转化，化难为易。

练习 （江西省赣州市2011届高三摸底考试）设f(x)是定义在R上的偶函数，对x∈R都有f(x-2)=f(x+2)，且当x∈［-2,0］时，f(x)=(12)x-1，若在区间(-2,6］内关于x的方程f(x)-loga(x+2)=0恰有三个不同的实数根，则a的取值范围是( )

A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,34) D.(34,2)

解 由f(x-2)=f(x+2)得到f(x+4)=f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数。又f(x)为偶函数，且当x∈［-2,0］时，f(x)=(12)x-1，所以可以作出f(x)在区间(-2,6］上的图像，

如图2，然后画出满足y=loga(x+2)与y=f(x)恰有3个交点的草图，注意到f(-2)=f(2)=f(6)=3，于是问题转化为g(2)3。

即loga43。 所以4

三、复杂向简单转化

化归应该朝着目标简单的方向进行，即复杂的、难于解决的问题应向简单的、较容易的问题化归。这里的简单不仅指问题结构形式表示上的简单，而且还指问题处理方式、方法上的简单。分而治之、各个击破是复杂问题简单化的主要策略之一。

例3 （天津市十二区县重点中学2011届高三联考）已知g(x)=mx+2，f(x)=x2-3x2-4x2。若对于任意的x1∈［-1,2］，总存在x2∈［1,3］，使得g(x1)>f(x2)，则m的取值范围是( )

A.{0} B.(-12,1) C.(-13,23) D.(12,1)

分析 本题考查函数的最值及存在性命题的转化策略，正确理解题意，将问题转化为f(x2)的值至少有一个比g(x1)的最小值小，即g(x1)min>f(x2)min，然后分类讨论分解为三个简单的问题。

解 依题意，问题转化为g(x1)min>f(x2)min。因为当x∈［1,3］时，x2∈［1,3］，f(x)=x2-3x2-4x2=x2+4x2-3≥24-3=1，当且仅当x2=2时f(x2)min=1。因为对于任意的x1∈［-1,2］，总存在x2∈［1,3］，使得g(x1)>f(x2)，

所以m>0,g(-1)=-m+2>1。 或m1。

或m=0,g(x)=2>1。，解得-12

点评 存在性命题的解决与恒成立问题的处理均与最值相关，但求的是最值的两个不同的侧面，不能将这两个问题混淆。

练习 （湖南省长沙市2011届高三模拟考试）已知函数f(x)=x-1x+1，g(x)=x2-2ax+4。若对任意x1∈［0,1］，存在x2∈［1,2］，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是______。

解 问题转化为g(x2)min≤f(x1)min。f(x)在［0,1］上单调递增，值域为［-1,12］。g(x)=x2-2ax+4的图像开口向上且对称轴为x=a。于是问题再转化为a2,g(2)=8-4a≤-1。 解得a≥94。

四、分解与组合的转化（即整体与局部的转化）

为了降低问题的难度，有时需要把一个复杂的问题分解成若干个简单问题去解决，包括条件分解、结论分解、过程的分解等。组合就是在全局的观点上看问题，整体地把握条件和结论之间的联系，以探求解题思路或优化解题过程的思想方法（也称整体思想）。

例4 （2011年江西卷・理9）若曲线C1：x2+y2-2x=0与曲线C2：y(y-mx-m)=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是( )

A.(-33,33)

B.(-33,0)∪(0,33)

C.［-33,33］

D.(-∞,-33)∪(33,+∞)

分析 曲线C2分解为两条直线，然后分别与曲线C1探求公共点的个数，进而利用判别式或者直线与圆的相交关系得到m的取值范围。

解 因为y(y-mx-m)=0，所以y=0或y-mx-m=0。因为直线y=0与圆x2+y2-2x=0有两个不同的交点，故只需直线y-mx-m=0与圆有两个不同的交点，即d=|2m|1+m2

点评 整体思维常见有：构造整体、整体观察、整体换元、整体变形、整体代入等。

练习 （湖南怀化市2011届高三一模）已知函数f(x)=9x9x+3，则Sk-1=f(1k)+f(2k)+f(3k)+…+f(k-1k)=_________。

（提示：利用f(x)+f(1-x)=1和数列中的倒序相加法求解，得到Sk-1=k-12）。

（作者单位：江西省宁都县宁师中学）