与二次函数相关的考题分解

函数是刻画变量与变量之间依赖关系的一个有效数学模型.初中阶段主要学习一次函数（含正比例函数）、反比例函数及二次函数的图象与性质，利用函数的有关知识解决实际问题等.二次函数在这几种函数中起着“纽带”作用，利用它可以把其它几种函数联系在一起.各地的中考数学试卷中都有考查二次函数的题目，其考查形式有填空题、选择题、解答题.这些考题涉及到二次函数的所有知识点，下面结合2016年典型中考题进行说明.

1求二次函数的解析式

例1（山东淄博）如图1，抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点.

（1）求这条抛物线对应的函数解析式；

（2）求直线AB对应的函数解析式.

图1析解（1）因为抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，所以Δ=4a2-4a=0，解得a1=0（舍去），a2=1，所以抛物线解析式为y=x2+2x+1；

（2）因为y=（x+1）2，所以顶点A的坐标为（-1，0），因为点C是线段AB的中点，即点A与点B关于C点对称，所以B点的横坐标为1，当x=1时，y=x2+2x+1=1+2+1=4，则B（1，4），设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（-1，0），B（1，4）代入得

-k+b=0，

k+b=4.解得k=2，

b=2.所以直线AB的解析式为y=2x+2.

2考查二次函低枷笥胄灾

图2例2（湖北鄂州）如图2，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC，则下列结论：

①abc>0；②9a+3b+c-1；

④关于x的方程ax2+bx+c（a≠0）有一个根为-1a.其中正确的结论个数有（）.

A.1个B.2个C.3个D.4个

析解由于图象开口向下，可知a0，所以abc>0，故①正确；根据图象可知当x=3时，y>0，所以9a+3b+c>0，故②错误；由图象可知OA

综上可知正确的结论有三个，故选C.

3二次函数与其它函数联系在一起

图3例3（浙江温州）如图3，在ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2.P是AB边上一动点，PDAC于点D，点E在P的右侧，且PE=1，连结CE.P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动.在整个运动过程中，图中阴影部分面积S1+S2的大小变化情况是（）.

A.一直减小B.一直不变

C.先减小后增大D.先增大后减小

分析利用勾股定理求出AB，设PD=x，AB边上的高为h，根据ABC的面积求出h，根据PD∥BC求出AD.构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可.

解在RtABC中，因为∠ACB=90°，AC=4，BC=2，所以AB=AC2+BC2=42+52=25，设PD=x，AB边上的高为h，h=AC・BCAB=455，因为PD∥BC，所以PDBC=ADAC，所以AD=2x，AP=5x，所以S1+S2=12・2x・x+12（25-1-5x）・455=x2-2x+4-255=（x-1）2+3-255，所以当0

当1≤x≤2时，S1+S2的值随x的增大而增大.

图4故选C.

4与几何知识联系在一起

例4（台湾）如图4，坐标平面上，二次函数y=-x2+4x-k的图形与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，且k>0.若ABC与ABD的面积比为1∶4，则k值为何？（）

A.1B.12C.43D.45

析解先求出顶点和C的坐标，再根据三角形的面积关系得出关于k的方程，解方程即可.

因为y=-x2+4x-k=-（x-2）2+4-k，所以顶点D（2，4-k），C（0，-k），所以OC=k.因为ABC的面积=12AB・OC=12AB・k，ABD的面积=12AB（4-k），ABC与ABD的面积比为1∶4，所以k=14（4-k），解得：k=45.故选D.

5利用二次函数的知识解决生活、生产中的实际问题

图5例5（湖北黄石）科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园.如图5所示，图中点的横坐标表示科技馆从8∶30开门后经过的时间（分钟），纵坐标表示到达科技馆的总人数.图中曲线对应的函数解析式为

y=ax2，0≤x≤30，

b（x-90）2+n，30≤x≤90，10：00之后来的游客较少可忽略不计.

（1）请写出图中曲线对应的函数解析式；

（2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的人在馆外休息区等待.从10：30开始到12：00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全部进入.请问馆外游客最多等待多少分钟？

析解（1）把（30，300）和（90，700）分别代入y=ax2，0≤x≤30，

b（x-90）2+n，30≤x≤90，得300=a×302，所以a=13，700=b（90-90）+n，所以n=700.

当n=700.a=13时，有b×（30-90）2+700=13×302，所以b=-19.

所以y=13x2，0≤x≤30，

-19（x-90）2+700，30≤x≤90，

（2）首先要求出馆内人数到达684人所用的时间，此时对应函数的第二段表达式，-19（x-90）2+700=684，所以x=78.由684人减少到624人需要684-6244=15（分钟），所以馆外游客最多等待15+30+（90-78）=57分钟.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）探究：在直线AC上方的抛物线上是否存在一点P，使得ACP的面积最大？若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）将直尺以每秒2个单位的速度沿x轴向左平移，设平移的时间为t秒，平移后的直尺为W′X′Y′Z′，其中边X′Y′所在的直线与x轴交于点M，与抛物线的其中一个交点为点N，请直接写出当t为何值时，可使得以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形.

分析（1）根据三角形的面积公式求出m的值，结合点C的坐标利用待定系数法即可求出a值，从而得出结论；（2）假设存在.过点P作y轴的平行线，交x轴与点M，交直线AC于点N.根据抛物线的解析式找出点A的坐标.设直线AC的解析式为y=kx+b，点P的坐标为（n，-12n2+2n+6）（-2

解（1）略.

物线的解析式为y=-12x2+2x+6.

设直线AC的解析式为y=kx+b，点P的坐标为（n，-12n2+2n+6）（-2

因为点P的坐标为（n，-12n2+2n+6），所以点N的坐标为（n，n+2）.因为SACP=12PN・（xC-xA）=

-32（n-1）2+272，所以当n=1时，SACP取最大值，最大值为272，此时点P的坐标为（1，152）.所以在直线AC上方的抛物线上存在一点P，使得ACP的面积最大，面积的最大值为272，此时点P的坐标为（1，152）.

因为EF=2，且点E在点F的左边，所以点F的坐标为（12，0）.设点M的坐标为（12-2t，0），则点N的坐标为（12-2t-2，0+2），即N（10-2t，2）.

因为点N（10-2t，2）在抛物线y=-12x2+2x+6的图象上，所以-12（10-2t）2+2（10-2t）+6=2，整理得：t2-8t+13=0，解得：t1=4-3，t2=4+3.

所以当t为4-3或4+3秒时，可使得以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形.如图8（两条虚线代表t两种取值）所示.

从2015年数据分析《初中数学教与学》的载文特点