一道不等式题的多种解法

对于一个数学问题，若能从不同角度多思多想，激活思维的源泉，往往能获得多种不同的解题途径.下面仅以一道不等式题的求解为例加以说明，以供同学们参考。

题目：设a，b，c均为正数，且a+b+c=1。求证：a2+b2+c2≥13。

证法1: 函数思想。

a+b+c=1，a+b=1－c。

又a2+b2≥12(a+b)2=12(1－c)2，

a2+b2+c2≥12(1－c)2+c2=3c2－2c+12。

当c=－－22×3=13时，a2+b2+c2取得最小值3×[JB（（]13[JB））]2－2×13+12=13。

a2+b2+c2≥13。

评注：利用重要不等式a2+b2≥12(a+b)2及a+b+c=1，消去a、b，将a2+b2+c2变为c的二次函数，再求其最小值。

证法2: 判别式法。

a+b+c=1，c=1－a－b。

a2+b2+c2－13= a2+b2+(1－a－b)2－13

= 2a2+(b－1)a+b2－b+13。

Δ=(b－1)2－4(b2－b+13)=－3[JB（（]b－13[JB））]2≤0，

a2+b2+c2－13≥0。

a2+b2+c2≥13。

评注：利用条件a+b+c=1消去一个未知量c，得关于a的二次三项式，再用判别式法证明。

证法3: 比较法。

a+b+c=1，

a2+b2+c2－13=a2+b2+c2－13( a+b+c)2

=13[3a2+b2+c2－( a+b+c)2]

=13(2a2+2b2+2c2－2ab－2bc－2ac)

=13[((a－b)2+(b－c)2+(c－a)2)]≥0。

a2+b2+c2≥13。

评注：注意到a2+b2+c2≥13左、右次数的差异，将右边的分子1用( a+b+c)2代换变为齐次式，再用比较法证明。

证法4: 分析法。

要证明a2+b2+c2≥13，

即证 3(a2+b2+c2)≥1, 又a+b+c=1，

即要证 3(a2+b2+c2)≥ ( a+b+c)2，

即证 2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ac。

这由 a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,

三式相加即得。

a2+b2+c2≥13。

评注：注意消除左、右两端次数的差异,用分析法证明。

证法5: 综合法。

a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,

2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ac。

3(a2+b2+c2)≥ ( a+b+c)2。

又 a+b+c=1,

3(a2+b2+c2)≥1。

a2+b2+c2≥13。

评注：用分析法寻找思路,用综合法证明。

证法6: 放缩法。

设a=13+x,b=13+y,c=13+z。

a+b+c=1,

x+y+z=0。

a2+b2+c2

=13+x2+13+y2+13+z2

=13+23(x+y+z)+x2+y2+z2≥13。

评注: 注意到a+b+c=1,先用平均值代换,再用综合法、放缩法证明。

小结:本题是证明条件不等式,如何利用条件是解题的关键。选择什么样的方法去证明不等式,要针对具体问题,进行具体分析，灵和地运用各种证法。这一道题的六种证法很好地锻炼了学生的思维,开拓了学生的视野,激发了学生的学习兴趣,培养了学生的创新精神和实践能力。

（作者单位：江西省新建二中）