Banach空间算子加权群逆的扰动与计算

摘 要 研究算子加权群逆的扰动。利用加权群逆的性质，从两个不同的角度给出了扰动算子加权群逆存在的充要条件及表示，同时得到了相应的扰动界。

关键词 算子 加权群逆 扰动 充要条件 表示

中图分类号：O151 文献标识码：A DOI：10.16400/ki.kjdkz.2015.06.026

Disturbance and Calculation of Weighted Banach

Space Operators Group Inverse

HU Chunmei

（Department of Mathematics and Computer， Lijiang Teachers College， Lijiang， Yunnan 674100）

Abstract Study Operator weighted group inverse perturbation. Weighted group inverse of nature， from two different angles give the necessary and sufficient conditions for weighted group inverse perturbation operator presence and representation， at the same time get the corresponding perturbation bounds.

Key words operator; weighted group inverse; disturbance; necessary and sufficient condition; representation

1 引言及引理

岑建苗教授在文[1]中讨论了长方矩阵加权群逆存在的充要条件及其计算公式，推广了有关方阵的群逆的一些结果。这些理论在线性微分方程组、人口增长模型和最优控制等方面有着重要的应用。

2008年，陈永林教授在文[6]中给出了长方矩阵加权群逆存在的新的充要条件，并得到了加权群逆许多新的表示。作为对文[1]的补充，讨论了Cline与Greville意义下的加权群逆存在的充要条件及表示。

2009年，盛兴平和陈果良在文[7]中也对长方矩阵加权群逆作了一系列的研究。首先，讨论了在解析扰动下，扰动矩阵的加权群逆可逆性及其表示，并得到了其相关的误差估计界。其次，给出了在代数扰动下，扰动矩阵的加权群逆可逆性及其表示。最后，利用高斯消去法，得到了长方矩阵加权群逆的一种新的表示。这些结果极大地丰富了矩阵加权群逆理论，有力地推动了矩阵加权群逆理论的发展。

由于目前关于加权群逆所取得的结果主要是建立在有限维矩阵空间中，本文将有限维矩阵空间中的相关理论推广到无限维的Banach空间中，对Banach空间中扰动算子加权群逆进行讨论分析，并得到相应的结果。

下面给出本文需用到的符号、定义及引理。

设和为两个任意可分的Banach空间，（，）是从到的有界线性算子的全体，（，）记为（）。对任一算子（，），（）、（）、（）、（） 和|| ||分别表示的秩、指标、值域、零空间和范数。

定义1 设（，），（，）。称满足下列方程组的算子（，）

（1） = ;（2） = ;（3） =

为的加权群逆，记 = 。若存在，则必唯一。

引理1 设（），和为的闭子空间，且有 = ，为沿到的投影算子，则

（1） = （） ;

（2） = （） 。

引理2 设（）。若|| ||

引理3 设（，），（，），则存在，有：

（1）（） = （） = （） = （）

（） = （） = （） = （）

（2）和存在，且

（） = （） = （） = （） = （）

（3） = = = =

（4） = ， =

（5）（）（） = （）（） =

引理4 设（，），（，），若（） = （） = 1， 则有：

（1）（） = ， （） =

（2）（） = ， （） =

（3）（） = （） =

（） = （）=

2 主要结果

定理1 设（，），（，），且存在，令 = + ，若 = ， = 。则存在且

= =

证明：由引理3可知，（）（） = （）（） = 。又 = ， = ，则 = ， = ，从而有 = ， = 。再由引理3，即得

= =

定理2 设（，），（，），且存在，令 = + ，若 = ， = 且||||

（1） =

（2）||||≤

（3）≤

证明：（1） 由定理1知，存在且 = 。又 = ， = ，则 = 。则由引理1，有 = = ，即（） = 0。同理可得（） = 0。

则

= + +

= +

=

（2） 由（1）式可得， = ，由||||

|||| = ||||

≤|||| ||||≤

（3） 由（1）式，我们有

|||| = ||||

≤|||| ||||≤

从而≤≤。

定理3 设（，），（，），且存在，令 = + ， = = = = 1，若||||

= = 的充要条件是

= =

= =

证明：由引理2可知， + ， + 可逆。

充分性 由条件有

= + +

= +

=

故 = ，则 = 。

同理有 = 。

必要性 由条件有 = （）， = （），则再由引理3和引理4知

= =

= = =

= =

= = =

= =

= = =

= =

= = =

定理4 设（，），（，），且存在，令 = + ， = = = = 1 ， = = ， = = ，且||||

（1）||||≤

（2）≤

证明：（1）由定理3可得， = ，由 || ||

|||| = ||||

≤|||| ||||≤

（2）由定理3，我们有

|||| = ||||

≤|||| ||||≤

从而

≤≤。

基金项目：云南省科技厅计划项目（2013FD060）

参考文献

[1] 岑建苗.关于长方矩阵的加权群逆的存在性[J].计算数学，2007.29（1）.

[2] DJORDJEVIC D.S.，VLADIMIRI RAKOCEVIC。Lectures on generalized inverse[M]. Faculty of Sciences and Mathematics：University of NiS，2008.

[3] Cline r e，Greville T N E. A Drazin inverse for rectangular matrices[J].Linear Algebra Appl，1980（29）.

[4] 杨凯凡，杜鸿科.扰动算子的Drazin可逆性及其Drazin逆的表示[J].数学学报，2010.53（6）.

[5] 陈永林.长方矩阵的加权群逆的存在条件与表示[J].南京师大学报（自然科学版），2008.31（3）.

[6] Sheng X P， Chen G L. The computation and perturbation analysis for weighted group inverse of rectangular matrices. J Appl Math Comput，2009（31）.