从一道试题谈谈一题多解

题目：已知抛物线C∶y2=4x，过焦点F的直线l与C相交于A，B两点，如果FB=λAF且λ∈[■，■]，求直线l的斜率k的取值范围。

解：若直线l的斜率不存在，则λ=1，与题设矛盾，故直线l的斜率存在。由题意知：焦点F的坐标为（1，0），又直线l过点F，所以可设直线l的方程为：y=k（x-1），且点A，B的坐标分别：（x1，y1），（x2，y2），方法1：由于直线l与抛物线C相交，所以直线l与抛物线C有公共的解，即y2=4x？圯x=■y=k（x-1）？圯ky2-4y-4k=0，

y1+y2=■，y1y2=-4。

又因为FB=λy1，所以y2=-λy1。

所以由y1+y2=■y2=-λy1，知y1=■y2=■，

又因为y1y2=-4，即■=-4，即k2=■=■（λ>0）

设f（λ）=λ+■-2，λ∈[■，■]，因为f（λ）=λ+■-2在λ∈[■，■]上单调递减且为正数，所以k2=■在λ∈[■，■]上是单调递增的函数，所以：■≤■≤■，即■≤k2≤■，即k∈[-■，-■]∪[■，■]。

【点评】①本题主要考查等价转化的数学思想，关键是先利用韦达定理找出λ与k的关系式，然后借助λ的范围解出K的取值范围；求k2=■的取值范围，其实质就是求f（λ）=λ+■-2在λ∈[■，■]上的最值。②本题易忽略的两个问题：一是不考虑斜率是否存在；二是只能用单调性来求f（λ）=λ+■-2在λ∈[■，■]上的最值，不能用均值不等式求。

方法2：由于直线l与抛物线C相交，所以直线l与抛物线C有公共的解，即y2=4xy=k（x-1）？圯k2x2-（2k2+4）x+k2=0

x1+x2=■x1x2=1

又因为■=λ■所以x2-1=λ（1-x1）即x2=1+λ-λx1

所以由x1+x2=■x2=1+λ+λx1知x1=■+1x2=1-■

又x1x2=1即k2=■=■（λ>0）

以下的求解步骤同方法一。

【点评】其思想方法与方法一样，只是运算量比方法一要稍微大一点。

方法3：设直线l的倾斜角为θ，由题意知：p=2，所以由■+■=■，知■+■=■=1。①又因为AF=λAF，所以|FB|=λ|AB|（λ>0）。②

所以由①②知：λ|AF|=1+λ。λ∈[■，■]，

当λ=■时，|AF|=5，|BF|=■，故|AB|=|AF|+ |BF|=■，

当λ=■时，|AF|=17，|BF|=■，故|AB|=|AF|+ |BF|=■

数形结合，可知：■≤|AB|≤■，又因为|AB|=■

■≤■≤■即■≤■≤■即■≤cos2θ≤■即■≤1+cot2θ≤■，即■≤1+■≤■，即■≤k2≤■所以k∈[-■，-■]∪[■，■]

【点评】此法主要是利用结论解题：若线段AB是过抛物线y2=2px（p>0）焦点F的焦点弦，则有以下结论：①■+■=■；②|AB|=■（θ为直线AB与x轴的夹角）；③1+cot2θ=cos2θ=■，tanθ=■。

利用结论，数形结合，求出线段AB在λ∈[■，■]上的取值范围，然后求出k的取值范围。

（作者单位：河南省平顶山市理工学校）