处处留心皆学问 函数问题不难寻

数学知识来源于生活，反过来又可以指导我们的生活。高中数学中的函数问题也不例外,学习了函数后，你是否注意到，我们现实生活中的许多问题都可以利用函数模型加以解决，我们不妨来看看几个实例,共同研究生活中的函数问题。

1．篱笆围菜园问题

今日农村，虽然经济较以前发达多了，但绝大多数农户为了食用方便，仍喜欢在自己承包的农田里围块菜园，种上各种蔬菜，以供自己的一日三餐之需。若我们留意的话，不难发现，这种传统的菜园多数是围成长方形的。那么，这种祖祖辈辈沿用的围法科学吗(即围出的面积是否最大)？

例1 已知篱笆的长度为l，试问篱笆如何围法才能围出的面积最大？

解析：如果将菜园围成长方形，由于篱笆的长度为l，设长方形的长为x，则宽为l－2x2（如图），长方形的面积为S(x)=x•l－2x2=－x2+l2x，这是一个二次函数，它的图象开口向下。所以，当x=－-l22×(－1)=l4时即将菜园围成正方形时，Smax(x)=4×(－1)×0－(l2)24×(－1)=l216。

若仍用长为l的篱笆围个圆形菜园，则此菜园的周长为l，所以圆的半径r=l2π，圆的面积S圆=πr2=π•(l2π)2=l24π。l24π>l216，S圆>Smax(x)，即将菜园围成圆形更科学！

不难得出，相同长度的篱笆围出的圆形菜园比方形菜园至少大27％。

点评：本例是二次函数的实际应用题，我们可以直接根据题意列出二次函数解析式，进而求二次函数的最值。

2.房产开发设计问题

在生活中，我们经常遇到有些应用问题与平面几何图形有关，在寻求函数模型时，我们还要注意平面几何的有关性质的应用。

例2 某房地产公司要在荒地ABCDE（如图）上划出一块长方形地面建造一幢公寓，问：如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积（尺寸如图，单位：m）。

解析:当一端点在BC上，只有在B点时长方形BB1DC的面积最大，

S1=SBCDB1=5600m2。

当一端点在EA边上时，只有在A点时长方形AA1DE的面积最大，S2=SAA1DE=6000m2。

当一端点在AB边上时，设该点为M，如图构造长方形MNDP，并补出长方形OCDE，设MQ=x(0≤x≤20)。

MP=PQ－MQ=80－x。

又OA=20,OB=30，且OAOB=MQQB,23=xQB，QB=32x，MN=QC=QB+BC=32x+70,

SMNDP=S3=MN•MP=(70+32x)•(80－x)=－32(x－503)2+180503，当x=503时，S3=180503。

比较S1,S2,S3，得S3最大，此时MQ=503m，BM=25133m。故当长方形一端落在AB边上离B点25133m处时，公寓占地面积最大，最大为180503。

点评:解答此类问题的关键是建立函数关系式，并确定定义域，而建立函数关系式必须依赖图形中的几何性质，如本例中采用了平行线分线段成比例性质和有关面积公式，最终把问题转化为函数最值问题。

3.养殖规模问题

自主创业，勤劳致富，也离不开函数。以甲鱼养殖业为例，借助函数分析市场，决定养殖规模。

例3 甲、乙两人连续6年对某农村甲鱼养殖业的规模（产量）进行调查，提供了两个方面的信息如图所示。

甲调查表明：每个甲鱼池平均出产量从第一年1万只甲鱼上升到第6年2万只。乙调查表明：甲鱼池个数由第1个30年减少到第6年10个。

请你根据提供的信息说明：

（1）第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼的总数；

（2）到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了？说明理由；

（3）哪一年的规模最大？说明理由。（解析略）

点评:本题首先要读懂图，能够由图设出函数解析式，用待定系数法求出解析式，其次，要会使用所求得的解析式解决新问题，在实际问题中，还要注意x的取值范围，如本例中x∈N*，当x=94时，只能取x=2。

（作者单位：河南省延津县一中学）