随机数在随机事件与概率教学中的应用探索

摘要： 本文对在随机事件与概率中的常见问题提出了一种新的借助于计算机实现的解决思路，即通过机器自动产生随机数后构建相应的数学模型，再通过编程计算得到最后结果。该方法既为概率论的教学带来了创新性思维，也为当前的教师提出了新的挑战。

Abstract： In this paper， a new solutions with the aid of computer was proposed， aiming at the common problems in random event and probability， which is to construct corresponding mathematical model after generating random numbers through the machine automatically， and get the final result via programming computing. This method not only brings innovative thinking for the teaching of the theory of probability， but also presents new challenges for current teachers.

关键词： 随机数；蒙特卡洛模拟；古典概型；几何概型

Key words： random number；Monte Carlo simulation；Classical Probability；geometric probability model

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2012）32-0262-02

0 引言

概率论是研究随机现象的统计规律性的一门数学学科，既然与随机现象有关，那么借助于计算机，用计算机内自动产生的各类随机数来研究随机事件与概率不失为一种好的引入方法，并在此基础上构思更多的算法，用编写程序的手段去解决概率论中的问题，成为一种新的研究概率问题的思路；也为讲授概率论的教师提出了新的挑战。

下面分别讨论随机数在《概率论》中随机事件与概率这节不同内容中的应用方法：

1 古典概型

抛硬币是古典概型中经常说明的一个典型问题，为了说明等概率的情况，我们可以用数学软件MatLab编程说明，具体算法思路如下：生成一个随机数，四舍五入后可能取得的所有值为0，1，将0设为硬币的反面，1设为硬币的正面，做实验若干次，相当于重复了若干次这个程序，程序如下：

n=1000；%n为试验次数

o=0；%m为出现反面次数

l=0； %l为出现正面次数

for i=1：n

A=rand（1）；

if round（A）==0

o=o+1；

end

end

l=n-o

o

表1为当试验次数分别为10、100、1000、10000、100000时硬币出现正反面的比例，从表中可以看出，出现正面和反面的次数是接近的，比例近似于1：1，而且随着试验次数的增加，这个比例离1：1越近，也就是说出现正面的反面的可能性是相同的。

对于掷骰子问题，我们可以按照同样的方法来处理，重复产生（0，1）内的随机数，若该数小于1/6，则相当于出现一点，大于1/6而小于1/3，则相当于出现两点，以此类推，……，在5/6和1之间，相当于出现了6点，运行该程序后从结果可以看到，出现每个点的比例是近似相等的。这个例子同样说明6个点出现的可能性是相等的。

类似的方法可以用于更多的古典概型问题的说明和计算中，在此不再详述。

2 几何概型

以下面问题为例：

罗密欧和朱丽叶约定在某时刻见面，每个人到达约会地点的时间都会延迟，延迟时间在0～1小时。第一个到达约会地点的人会在那儿等待15分钟，之后若对方还没有到达，先到者会离开。问他们能够相会的概率有多大？

这个问题是个典型的几何概型问题，因而可以考虑用直角坐标系的单位正方形表示样本空间，即？赘=[0，1]×[0，1]。正方形内每个点的两个坐标恰好可以分别表示两个人到达时可能的延迟时间，并且显然每个点都是等可能的。这样，罗密欧与朱丽叶两人可能相会的事件可用图1中阴影部分表示，知道了阴影部分的面积，就知道了两人相会的概率有多大了。

另外，还可以使用蒙特卡洛模拟法来解决这个问题，算法思路如下：先设置一个预先确定的随机点总数，用来表示正方形的面积；再用随机数的方法产生随机点，最后计算落在阴影内的随机点个数，这些阴影内随机点个数与总个数的比值就是两人相会的概率。算法如下：

①设置产生随机点的总数n；②初始化：m=0，P=0（m为阴影内的随机点个数的累计值，P为相会的概率）；③对i=1，2，…，n，进行第4～6步；④产生随机坐标xi和yi，满足0？燮xi？燮1，0？燮yi？燮1；⑤若-0.25？燮yi-xi？燮0.25，m=m+1，否则进行第6步；⑥若i=n，P=m/n，停止；否则，转第4步。

实际相会的概率答案应该是0.4375，表2列出了将随机点数的总数定为10、100、1000、10000时，利用上述算法编制的程序得到的相会概率，由于篇幅有限，本文只列出每种情况下求得的四个概率值（以下各表同）。从表1中可以看出，当随机点的总数取的越大时，计算结果与实际理论值的误差呈现越来越小的趋势。

另外，这个问题还可以演变为更复杂的形式，比如每个人等待时间也是在0～15分钟随机变化的，或者一个人在0～15分钟变化，而另一个人在0～10分钟变化，这样，程序上只不过增加了一两个随机数，但能解决的问题的范围则大大扩展了，使得解决问题的灵活性显著提高，这点笔者认为正是使用随机数法的积极作用表现。

3 条件概率

问题：如前所述，在抛掷骰子的试验中一共有6种等概率的试验结果，现已知试验的结果是偶数，即2，4，6这三种情况必有一种发生，在此情况下，求出现点数为6的概率。算法简述如下：

①设置产生随机点数的次数m；②初始化：n1=0，n2=0，P=0（n1为出现6点的累积次数，n2为出现偶数点的累积次数，P为条件概率）；③对i=1，2，…，m，进行第4～7步；④产生一个随机数（随机数对应随机出现的骰子的点数）；⑤若对应的点数为偶数，n2=n2+1；⑥若对应的点数为6，n1=n1+1；⑦若i=m，则P=n1/n2，停止；否则转第4步；在这部分内容中，对于要应用到乘法定理的内容或问题，有了随机数法，我们完全可以撇开乘法定理，直接编程计算。

表3给出当抛掷骰子数分别为10、100、1000、10000、100000时，得到的点数为6的条件概率，很明显，随着试验次数m的增加，概率P越来越稳定在1/3附近。

4 全概率公式

问题：张三参加一个棋类比赛，赛手中50%是一类棋手，对这些棋手取胜的概率为0.3；25%是二类棋手，赢的概率为0.4；剩下的为三类棋手，赢得比赛的概率为0.5。从这些棋手中任选一位，求张三取胜的概率。假设张三比赛了很多次，用其中赢的次数除以比赛的次数就是，赢得比赛的频率概率。算法设计的思路重点在于我们只要设一个一行二列的随机数组，其中第一个数表示张三遇到的对手情况，第二个数表示他取胜的可能性范围即可。具体算法如下：

①设置产生随机数组的次数m；②初始化：n=0，P=0（n为赢得比赛的累积次数，P为最终取胜的概率）；③对i=1，2，…，m，进行第4～8步；④产生一个随机数组；⑤若数组的第一个数在0～0.5之间，第二个数在0～0.3之间，则n=n+1；⑥若数组的第一个数在0.5～0.75之间，第二个数在0～0.4之间，则n=n+1；⑦若数组的第一个数在0.75～1之间，第二个数在0～0.5之间，则n=n+1；⑧若i=m，则P=n/m，停止；否则转第4步；

表4给出当比赛次数分别为10、100、1000、10000、100000时，棋手赢得比赛的概率，从表中可以看出，随着次数m的增加，概率P越来越稳定在准确值3/8附近。

对于涉及到贝叶斯公式的问题，我们可以采取近似的方法，在此不再详述。

5 事件的独立性

问题：一产品的生产分4道工序完成，第一、二、三、四道工序生产的次品率为别为2%，3%，5%，4%，各道工序独立完成，求该产品的次品率。

思路：产生一个一行4列随机数组，每个数表示一道工序中产品所在范围，观察该范围是否在合格范围内。

算法：

①设置产生随机数组的个数m（表示生产的零件件数）；②初始化：n=0，P=0（n为出现次品个数，P为最终出现次品的概率）；③对i=1，2，…，m，进行第4～7步；④产生一个一行四列随机数组；⑤若数组的第一个数在0～0.02之间，或第二个数在0～0.03之间，或数组的第三个数在0～0.05之间，或第四个数在0～0.04之间，则n=n+1；⑥若i=m，则P=n/m，停止；否则转第4步。

表5给出当随机数组中次数分别为10、100、1000、10000、100000时，产品为次品的概率，从表中可以看出，随着试验次数m的增加，概率P越来越稳定在准确值

0.1331附近。

通过浦丰问题，我们得知可以用概率方法求圆周率。类似地，通过以上这些粗浅的思考，我们可以发现对于有些复杂的、难以用常规方法求解的概率问题，我们完全可以撇开传统的思路，用随机数法来构造问题模型，直接获取概率问题的答案，这对于我们解决问题无疑带来一种新的思路；而在传统的板书授课的基础上，使用计算机编程即多媒体技术结合具体内容进行讲授，也为教师带来了一种新的授课方式。

参考文献：

[1]《概率导论》Dimitri P.Bertsekas，John N.Tsitsiklis人民邮电出版社2009.12.

[2]丁正生.概率论与数理统计简明教程.高等教育出版社，2005.6.

[3]《数学建模》Frank R.Giordano，Maurice D. Weir，William P.Fox机械工业出版社，2005.1.