向量在解决立体几何二面角问题中的应用

【摘 要】高中数学在新课标理科增加了空间向量，自向量引入到高中教材，人们逐步发现它在越来越多的地方发挥着巨大的作用。它使几何问题代数化，避免了添加辅助线作二面角的平面角的麻烦，从而提高学生的学习效率，事实上向量在解决立体几何求二面角问题时有它独特的优势。

【关键词】二面角；向量；法向量；方向向量；空间直角坐标系；立体几何；平面角

二面角是人教A版高中数学必修2第二章2.3.2小结的内容，概念的本身“从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角”很容易理解，但二面角的大小用它的平面角来度量，去求解二面角的平面角却并不容易，用立体几何方法求二面角是学习的难点，如果用传统的方法去做题，需要按“做-证-求”三步来完成，需要借助辅助线而且不容易做不出二面角，更不用说求解，所以这时我们想到了向量，用向量的方法求解二面角让问题简化。那么利用向量求二面角大小的方法如下：

方法规律：主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算.但在处理二面角问题时会遇到如何判断二面角的平面角与两个法向量夹角的关系问题，要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角。

思想方法：

1.合理建立空间直角坐标系

（1）使用空间向量解决立体几何问题的关键环节之一就是建立空间直角坐标系，建系方法的不同可能导致解题的简繁程度不同.

（2）一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时，就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系；如果不存在这样的三条直线，则应尽可能找两条垂直相交的直线，以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系，即坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点.

（3）建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系，在没有垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系.

2.易错防范

二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量，的夹角是相等，还是互补.

总之，遇到求解空间二面角的问题可以结合向量法应用，同时以二面角为模型载体，巩固向量法，进一步体验其优越性及方法的独特魅力。

参考文献：

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