时间：2022-08-15 02:40:54
摘 要： 不等式证明问题是数学高考和竞赛中的热门问题，表面上看来难以接近或解决，但只要我们能创造性地运用已知条件的文字、符号、数式、图形等信息，以已知条件为原料，所求结论为目标，合理地运用数学知识，思想方法，就能构建出符合条件的已经解决或比较容易解决的数学模型.运用这些模型，能够收到直观、简捷的效果，而且能优化思维，探求好的解题思路.本文着重从数学问题的本质出发，来构建数学模型，探求解题思路.
关键词： 不等式 数学模型 解题思路
不等式证明问题是数学高考和竞赛中的热门问题，表面上看来难以接近或解决，但只要我们能创造性地运用已知条件的文字、符号、数式、图形等信息，以已知条件为原料，所求结论为目标，合理地运用数学知识，思想方法，就能构建出符合条件的已经解决或比较容易解决的数学模型.运用这些模型，能够收到直观、简捷的效果，而且能优化思维，探求好的解题思路.本文着重从数学问题的本质出发，来构建数学模型，探求解题思路.
一、构建平面几何模型
直观的图形有助于我们思考，有些问题，在作出适当的图后，繁化为简，难化为易.
例1.已知a，b，c，d∈R，求证：+++≥（a+b+c+d）.
分析：不等式左端是平面内某两点间的距离形式，由此联想构造距离来证明.
证明：取直角坐标系内四点：A（a，b），B（a+b，b+c），C（a+b+c,b+c+d），D（a+b+c+d，a+b+c+d）.因为平面内两点间所有连线中，直线最短，
所以|OA|+|AB|+|BC|+|CD|≥|OD|，
即：+++≥|a+b+c+d|≥（a+b+c+d）.
例2.已知x，y，z＞0，求证：+≥.
分析与简解：将结论转变为+≥，构造三点（0，0），（x，y），（+x，）即证.
二、构建二次方程模型
方程是我们熟悉的内容，借助方程的“”及韦达定理等，可以简化问题.
例3.若α，β，γ∈（-，），求证：（tanα-tanβ）≥（tanγ-2tanα）?（2tanβ-tanγ）.
证明：（1）若tanγ-2tanα=0，则原不等式显然成立；（2）若tanγ-2tanα≠0，构造关于x的二次方程：（tanγ-2tanα）x+2（tanα-tanβ）x+（2tanβ-tanγ）=0；易知x=1为上述方程的根，故方程必有根.
=［2（tanα-tanβ）］-4（tanγ-2tanα）（2tanβ-tanγ）≥0
化简得：（tanα-tanβ）≥（tanγ-2tanα）?（2tanβ-tanγ）
例4.已知=1，求证：b≥4ac.
证明：已知等式可化为a（-）+b（-）+c=0，
即方程ax+bx+c=0有实根x=-，从而有判别式=b-4ac≥0，即b≥4ac.
三、构建三角模型
将问题进行三角换元构建三角模型，然后利用三角公式进行解题是一种常见的解题方法.
例5.已知a，b∈（0,+∞）且a+b=1，求证：（a+）+（b+）≥.
证明：由于a，b∈（0，+∞）且a+b=1，因此设a=cosθ，b=sinθ（θ∈（0，））.
因此不等式左边可化为：
（cosθ+）+（sinθ+）
≥（cosθ++（sinθ+）=（1+）≥
四、构建函数模型
不等式中所提供的信息往往与函数紧密相关，故此直接把握问题中的整体性运用函数的性质来解题，是一种创造性的思维活动.要求我们能抓住条件和结论中的结构特征和内在联系，准确合理地构建出函数模型.
例6.设x≥x≥x≥x≥2，且x+x+x≥x，求证：（x+x+x+x）≥4xxxx.
证明：令a=x+x+x，b=xxx
对于函数：f（x）=（x+a）-4xb，
a=x+x+x≥x；3x≥x+x+x=a，≤x≤a
又f（）=++a=a-ab=a（4a-3b）
a≤3x，b≥4x，4a-3b≤0，f（）≤0
而f（a）=a+2a（a-2b）+a=4a（a-b）≤0，f（x）=（x+a）-4xb≤0.
即：（x+x+x+x）≥4xxxx.
在数学解题过程中，通过构建数学模型，来探求解题思路是优化思维的有效途径.通过对模型的构建，可以训练解题者的类比与联想、抽象分析、转化与化归能力.具体对于不等式证明还有哪些模型可以建立，构建数学模型还有哪些潜在的教育价值，有待我们深入探究.