泊松-逆高斯模型的相关数学推导

【摘要】泊松-逆高斯模型可用于对汽车保单的实际索赔次数的拟合,因而本文主要给出了泊松-逆高斯模型均值、方差及概率分布的一些数学推导,在此基础上进行了实例分析,同时通过比较发现该模型的拟合效果较好。

【关键词】泊松-逆高斯模型 均值 方差 概率分布

【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】1009-9646(2008)08(b)-0189-02

1 泊松-逆高斯模型

假设个人索赔次数的分布服从泊松分布

其中参数λ随个人不同而不同。每个投保人的特点由不同的值来确定。在这个方法中,λ被认为是随机变量的观察值。对于大的保险公司,由于保单数量足够大,使用连续分布方法看起来也是很自然的。为简单起见,在以下假设在区间[0,∞]具有连续分布。以表示的密度函数,通常称为结构函数。则保单组合中任意一份保单的索赔次数分布

被称为混合泊松分布[1]。如果令服从逆高斯分布(这里的逆高斯分布也被称作起混合作用的分布),即IG(g,h),

则从而索赔次数分布为

2 均值与方差[2]

由于索赔次数是一个离散型随机变量,则根据离散型随机变量均值和方差的定义,分别计算如下;

均值:如图1。

方差:如图2。

即

从而有

3 概率分布

索赔次数分布为

从而概率Pk可递推计算如图3。则有:

4 应用举例

采取1968年英国的421240张机动车综合保险单中的0,1,2,3,4,5次索赔频率数,见表1所示。

通过计算可以得到索赔次数均值为0.13174,方差为0.13852。

下面将索赔次数拟合成泊松-逆高斯分布。具体计算方法为:令

从而解出参数g=0.13174,h=0.05147。

再利用概率公式:

以及递推公式

可以计算出在泊松-逆高斯分布条件下,索赔次数k=0,1,2,3,4,5的概率值:

P(0)==0.8794015,P(1)==0.1103136

P(2)==0.0094929,P(3)==0.0007323

P(4)==0.0000552,P(5)==0.0000042

将上述得到的概率值分别乘以保单数421240,就得到了泊松-逆高斯分布条件下的索赔次数(见表2),同时与文献[3,4]中分别在泊松分布、负二项分布、混合泊松分布条件下拟合的频数(列于表2中)相比较[5],可以看到泊松-逆高斯分布拟合的效果是最好的。

参考文献

[1] (美)勒梅尔.汽车保险费的定价原理[M].袁卫译.北京:经济科学出版社,1997.8.

[2] 魏宗舒等.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社,1983.10.

[3] 韩天雄.索赔次数分布的拟合和应用[J].精算通讯,1998.12,35-38.

[4] 孟生旺,袁卫.汽车保险的精算模型及其应用[J].数理统计与管理,2001年20卷第3期,60-65.

[5] 许芹.索赔次数数据分布的拟合方法的分析和比较[J].应用概率统计,2005年21卷第3期,315-321.

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