米勒定理与高考

摘要 以几道高考试题为例，浅谈米勒问题（定理）在解决此类高考题中的独特应用。

关键词 米勒问题（定理） 极值 高考 应用

米勒问题（定理）作为载入世界数学史上的第一个极值问题，有着很广泛的应用，如欣赏一幅画的最佳角度、沿边线踢足球的最佳射门点等，而且还在高考中屡屡出现。本文就以几道高考题为例，浅谈米勒问题（定理）在解决此类高考题中的独特应用。

1 对米勒问题和米勒定理的理解

1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出了如下十分有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什么部位，视角最大？最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题中第一个极值问题而引人注目，因为德国数学家米勒曾提出这类问题，因此最大视角问题又称之为“米勒问题”，更一般的米勒问题如下：

米勒问题：已知点、是锐角的一边上的两个定点，点是另一边上的动点，则当点在何处时，能使得最大.

对米勒问题有如下重要结论我们称之为米勒定理.

米勒定理：已知点、是锐角的一边上的两个定点，点是另一边上的动点，则当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大.

证明：如图1，设点是边上不同于点的任意一点，连结，因为是圆外角，是圆周角，易证小于，故最大.

图１

根据切割线定理得，，即.于是我们有：最大等价于的外接圆与边相切于点等价于等价于.

2 米勒定理在解高考题中的应用

最大视角问题在历届高考中频频亮相，常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。下面举例说明米勒定理在解决此类高考问题中的应用。

案例1（1986年高考全国数学理科第5题）如图2，在平面直角坐标系中，已知，试在轴的正半轴上求一点，使取得最大值.

图２

分析：这是一道较早的“米勒问题”的高考题，该题背景简单，解题思路入口宽，解法多样，是一道难得的好题。若用米勒定理求解则可一步到位，轻而易举地拿下此题。

解：设由米勒定理知，当且仅当时，最大，故点C的坐标为。

案例2 (2005年高考天津数学理科第20题)某人在山坡处观看对面山顶上的一座铁塔,如图3所示,塔高,塔所在的山高,,图中所示的山坡可视为直线且点在直线上,与水平地面的夹角为,.试问此人距离水平地面多高时,观看塔的视角最大(不计此人身高)?

图3

分析：这道高考试题即米勒问题的典型应用，是一道难得的好题。而且此题明显改造于1986年全国高考题,仿照其解法2可以解答此题(仿米勒问题证法的一种解法).

一般解法：解：如图所示，建立平面直角坐标系，则，，．

直线的方程为，即．

设点的坐标为，则（）

由经过两点的直线的斜率公式，．

由直线到直线的角的公式得

（）

要使达到最大，只须达到最小．

由均值不等式．当且仅当时上式取等号．故当时最大．这时，点的纵坐标为．

由此实际问题知，，所以最大时，最大．故当此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角最大．

利用米勒定理解法：如图,过点B，C作圆M且与直线L相切，切点P的纵坐标即为所求.设直线L与y轴交于点Q，则易得Q(0，-100).

由切割线定理得

.

于是为所求.

点评:很显然,此题用米勒定理解答时较为简单.

案例3（2010年高考江苏数学理科第17题）某兴趣小组要测量电视塔的高度（单位：），如图4，垂直放置的标杆的高度，仰角.

（1）该小组已测得一组的值，算出了，请据此算出的值；

（2）若该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离（单位：），使与之差较大，可以提高测量精确度.若电视塔的实际高度为，试问为多少时，最大？

图6

分析：这道高考试题同样源于生活实际,借助米勒定理直接解决,问题就变得相当简单。

解：(1)(略)

（2）设，由米勒定理知，当且仅当，即：①

此时即最大.又由∽得:②

由①②得:③

将③代入①得:

解之得:

故当时，最大.

点评：第（2）问以实际应用和平面几何为背景考查最大角问题，本解法以米勒定理和相似三角形等知识为突破口，结合方程思想求解，综合性强,能力立意高,有一定难度。

本文借用高考中的三个案例,启发我们在平时的解题教学中，要引导学生进行解题反思，总结解题规律、揭示问题本质、提炼思想方法、归纳一般性结论，并有意识地加以运用，这样学生的解题能力一定可以上一个新的台阶,达到较高的层次。

参考文献

[1]王金战、许永忠等. 数学是怎样学好的(魅力与方法篇)

[2]任志鸿. 2012最新 十年高考分类解析与应试策略