探讨波动率计量方法及相关问题

摘要：在经济和金融研究中,波动性一直是一个非常重要的方面——投资组合选择、原生资产和衍生资产定价、风险管理等等都离不开对波动性的准确度量。所以，波动率的估计模型在过去的几十年里也成为实证金融学和时序计量经济学中最为活跃的研究领域之一。本文探讨两种估计波动率的方法，运用历史数据或者计算隐含波动率，并解释这两种方法及存在相关问题。以及对如何调整波动率给出一些提示。

关键词：布莱克—斯科尔斯 波动率 波动率微笑在经济和金融研究中,波动性一直是一个非常重要的方面——投资组合选择、原生资产和衍生资产定价、风险管理等等都离不开对波动性的准确度量。波动率的估计模型在过去的几十年里也成为实证金融学和时序计量经济学中最为活跃的研究领域之一。运用布莱克—斯科尔斯公式对期权进行定价，在必须知道参数中，唯一无法直接观测到的标的资产的波动性。不幸的是它又是一个较为重要的参数，它的估计至关重要。模型的假设已知从今天到到期日期的股票收益率的未来波动率。因为我们不能知道未来价格，只能对波动率进行估计。我们主要运用历史数据进行波动率或隐含波动率的估计。

从历史数据中估计波动率

估计波动率的一种方法是运用股票价格指数的历史数据。这个方法的问题是选择合适的时间长度来估计模型使用的参数，好像股票未来的波动率是已知的且恒定的。但即使是零星的经验也表明波动率是不稳定，股价也是经常跳跃式波动。

估计过程如下，我们观测到固定时间间隔的股票价格，例如每天（ ）或每周（ ）。这些观测可以用于计算时间段内的收益率：

其中是观测值的数目。然后运用这些收益率来估计时间段内的波动率，公式为：

其中 等于 的均值。记住布莱克—斯科尔斯公式要求年化的股票收益率的波动率，因此，S必须用 的平方根来年华波动率。

因此我们知道波动率在时间段内不是稳定的，难点是找到合适的n值。如果n值太大，我们就会选用过于久远的数据而得到与实际情况不同的波动率。如果n值太小，则估计的精度就会不好。对于股票数据，一个较好的折中应该是运用90到180天的时间段内的日数据，来估计波动率。

隐含波动率和波动率微笑

选用历史波动率的一个替代方法是使用隐含波动率：什么样的波动率能使通过模型计算得到的价格等于市场上观察到的期权价格。这样，我们在市场上观察到期权价格，然后从布莱克—斯科尔斯公式中反向推导出隐含波动率。我们知道布莱克—斯科尔斯公式: ，并给定市场上买入（或卖出）的期权价格，然后尝试求解这个方程得到西格玛。不幸的是已证明这个公式无法得到西格玛的解析解，而必须用数值来代替。

通常的市场运用是将隐含波动率与从历史收益率数据得到的波动率比较。如果隐含波动率相对于“历史波动率”较高，则根据专业知识，市场专业人士将倾向于卖出波动性，即波动率越高出售期权收到的期权价格将越高。如果隐含波动率相对于“历史波动率”较低，则投资者将很倾向于购买波动性，因为购买期权所支付的期权价格比平常要低。

另一个运用隐含波动率的方面是监控市场对特定股票的波动率的判断。当新信息到达市场时，隐含波动率会变化（表明在布莱克—斯科尔斯公司中假定波动率恒定并不精确，但对于简单现实以得到便于处理的方程很是必要的）。还有另一个不同的应用就是使用一个期权的隐含波动率去对另一个基于同一股票的期权进行定价。

通常情况是基于同一只标的股票，同时有好几只期权交易。原则上，如果布莱克—斯科尔斯公式对现实的真实反映的话，所有哪些期权应该有相同的隐含波动率。然而，有很多原因使得这些期权通常都有不同的隐含波动率。如果我们估计不同期权的隐含波动率，而这些期权彼此仅有行权价格不同，我们会看到当这些隐含波动率按照行权价格画出散点图时，呈现为U型曲线。这个结果就是总所周知的“微笑效应”，其中最小的波动率是处于平值状态的期权中得到的，而当行权价格向任何一个方向变动时隐含波动率都会增加。这就说明股票波动率的估测是一个疑难重重的工作。

可能的原因是：

隐含波动率一般都是基于期权买卖价格的均值。然而，买卖价格多少包含了交易成本。而布莱克—斯科尔斯公式明确规定忽略交易成本。

我们通常假设期权和股票价格记录都在交易日的同一时间。而我们的价格观测值来自金融市场两个不同的部分，则观测时间总会存在差异（有时称之为非同时发生的价值观测值）

期权和股票价格都是以离散价值的形式报出。布莱克—斯科尔斯公式却是明确地给出连续价值。这个对于处于深度虚值状态的期权尤为重要。

所有的这些都只表明模型是基于简单化的假设。即便Fisher Black自己也认为是“非现实的简单化假设”。但是他很快就补充道：“然而缺点也是它最大的优点”。人们喜欢这个模型是因为容易理解它的假设。作为初步的近似估测、模型通常是优良的，如果你看到假设的漏洞，你可以用更为复杂的方式运用模型。

有些人已经发展了特定的公式允许波动率变化。在某些情况下，那些公式会比原始公司运作得更好，但是好像没有一个公式在所有情况下运作得更好。

因此我建议从估计值来替代使用历史波动率更好，这个估计值是期权有效期内股票波动率的估计。值得注意的是估计波动率的最好方法会显得比期权公式本身更为复杂。对于如何调整波动率，给出一些提示：

因为波动率确实是变化的，则相比几年前的波动，近期的历史数据赋予更多的权重。

因为股价下降时波动率上升，而股价上涨时波动率下降，所以在价格下跌后要增加对波动率的估计值，即便历史波动率没有增加。

价格下跌后波动率增加通常是暂时的（就像波动率的任何一次增加一样），但它比其他波动率增加持续得更长（平均而言），这个可以在隐含波动率中观察到：当股价下跌，通常可以观察到隐含波动率会上升。当股价逐步上涨时，通常会观察到隐含波动率下降。

运用其他股票和市场的波动率来得出未来的波动率。如果其他股票的波动率也上升，则波动率的上升更可能持续。

如果未来波动率是已知的（按公式假设的），运用期权对股票套期保值的头寸是无风险的。因为未来波动率是不确定的，套期保值头寸是有风险的。

在此可能会补充的更多的建议，但是必须记住一点是使用简单的模型并且理解它的假设比使用最为复杂的通常也是难以理解的模型更有成效。如果对模型有很好的直觉的知识，则也有方法将参数调整到适当的值。

参考文献：

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