角度 厚度 尺度

教师要想提高课堂教学的有效性，必须要把握三个度，即角度、厚度及尺度。笔者以“负数的认识”为例，来谈具体的做法和教学实践。

一、基于真实起点，找准教学切入的角度

教学切入的角度直接影响课堂效率。寻找合适的切入角度必须充分考虑学生对学习内容已有的认知水平和经验基础，顺学而导方能节省时间提高效率。就负数而言，尽管从教材的编排来看是一堂起始课，但事实上学生在生活中已经积累了大量相关的生活经验。从课前的调查中发现，全班52人中有35位学生已经认识了负号，能正确读写负数的约占67%；其中有28人能结合生活情境说出负数所表示的意义，约占54%。基于这样的学习起点，笔者把负数的读写作为本堂课教学的切入点。

（一）以点带面，认识负号

【片段一】

师：同学们，这节课我们一起来认识负数。课前老师了解到很多同学都在生活中看到过负数，谁来说一说？

生：电梯里地下车库用“负-”表示，这是个负数。

生：电视里天气预报零下5℃写成“-5℃”，这也是负数。

生：我知道如果做减法不够减了，可以用负数表示，比如2减去4等于负2。

……

师：电梯里地下车库表示为“负-”，这个数会写吗？（生尝试写负数）

师：一个数前面写上负号，这个数就是负数。负号的写法和减号一样，但读法不同。

从上述教学实践中可以看到，学生对负数已经积累了一定的认知基础。由于负数在生活中比较常见，大部分学生已经看到过负数的表示方式，因此负数的读写对大多数学生来说不成问题。这样的切入角度简洁、高效，遵循了学生的现实起点。

（二） 联系沟通，扩充数系

【片段二】

师：请你找一找下面各数中哪些是负数？

-7 2.5 -5.2 - 41

生：-7、-5.2、-。

师：余下的数我们早就认识了，这些都是正数。正号“+”既可写上也可以省略不写。想一想，除了这里看到的数，还有其他的正数和负数吗？

生：还有很多，写都写不完。

师：对，正数和负数的个数是无限的。

整理正数：2.5（+2.5） （+） 41（+41） ……

整理负数：-7 -5.2 - ……

这一教学环节的实施，一方面巩固并丰富学生对负数的认识，另一方面将负数及时纳入学生原有的认知体系，从而在学生头脑中构建新的关于数的认知体系。认识正数无需用太多笔墨，学生以前认识的数绝大多数都是正数（除0外），只要简单沟通即可。

二、延长过程体验，夯实知识理解的厚度

数学概念的建构需要实现从具体到抽象的逐步提炼和概括。如果建构过程过于简化往往会导致学生对概念本质的理解不够深刻，成为“压缩饼干”。对于负数来说，尽管学生在生活中已有了一定的认识，但这只是形式上的、肤浅的、感性的。显然，仅仅停留在这一层面上是不够的。教师需要组织有效的数学活动让学生经历概念形成的心理过程，丰富感知、深化体验，促进对负数意义的本质理解。延长过程体验是感悟数学思想和积累数学基本活动经验的必要前提。

（一）概念建构——丰富感知积累

【片段三】

师：我们已经认识了正数和负数，两者之间有什么关系呢？能不能举例来说一说。

生：我觉得正数和负数的意思是相对的，比如温度计上负数表示零下几度，正数表示零上几度。

生：我觉得是相反的，电梯里“-1”是地下一层，“1”是地上一层。

……

师：老师也找了一些材料，请大家分析一下。

（1）欣欣服装店的财务报表。

日期 收入/支出（元）

11月16日 +2540

11月30日 -5600

（2）两只股票的涨跌情况（单位：元）。

（3）妈妈的银行卡透支情况。

日期 存入 支取 余额 操作员

20090812

20091106 2000.00

-2000.00

（4）根据气象预报，明天湖州天气情况（如下图）

板书整理：

正数 收入 上涨 多余 零上

负数 支出 下跌 亏欠 零下

师：像这样意思相反的一对量，叫作两种“相反意义的量”。

数学符号的抽象和数学概念的理解需要丰富的感知积累作基础。教学中，教师首先请学生自己举例说一说正负数之间的关系，借助学生已有的生活经验进一步感悟负数的意义。但学生的生活经验是有限的，教师需要继续提供更丰富的并具有结构性的感知素材，延长体验过程。这里教师所呈现的几组材料都贴近学生的生活现实，是他们所熟悉的材料，能够引起他们的心理共鸣并激活生活经验与数学概念的联系。同时材料的结构性呈现有利于学生在比较和辨析中认识正负数的关系，进一步理解负数的意义。在联系、比较、抽象、概括等思维活动中，学生逐步把生活经验转化为数学活动经验。

（二）概念运用——剖析思考过程

【片段四】

练习：在括号里填上合适的数。

（1）太湖今年5月份的水位高于警戒线1.6米，记作 “+1.6”米； 11月份低于警戒线2.2米，应记作（ ）米。

生：-2.2。

师：你是怎么想的？

生：因为高于警戒线用正数表示，低于警戒线正好相反，所以要用负数表示。

（2）在某一场足球赛中，德国队上半场丢了两球，记作 -2 分；下半场他们加强进攻连进三球，记作（ ）分。

生：+3。

师：说说你的想法。

生：丢球用负数表示，进球就要用正数表示，因为意思是相反的。

（3）小军和小华从大树的位置出发向不同的方向走去，小军现在的位置记作+200 米，小华的位置记作-200 米。请你猜一猜两人的行进方向。

板书整理：

小军 南 东 北 西 西北 ……

小华 北 西 南 东 东南 ……

师：这么多答案，说明他们的行进方向无法确定，但可以确定的是什么？

生：他们的方向肯定是相反的。

师：为什么？

生：因为他们现在的位置分别用负数和正数表示的，表示相反意义的量，所以行进方向一定是相反的。

在概念教学中，教师既要引导学生由具体到抽象，形成概念，又要让学生由抽象到具体，运用概念。在概念的运用过程中，不能只满足于学生会表示，还要进一步剖析他们的思考过程。从上述片段中教师不断地引导学生说一说“你是怎么想的”，目的就是让学生能够从“相反意义的量”这个角度展开思考，促进概念的内化。必须指出的是，学生在阐述思考过程时，教师应鼓励学生“用自己的话说一说”。过于强调使用数学术语进行规范化表达反而会走进“模式化”的误区，淡化意义的实质理解。

（三）概念深化——借助数形结合

【片段五】

师：小红还站在大树底下，她现在的位置你认为用哪个数表示比较合适？

生：用“0”表示，因为小红没动，还站在大树底下。

师：那么“0”算正数还是负数呢？

生：我觉得既可以算正数也可以算负数。

生：我觉得0不是正数也不是负数。因为小华向东走，小军向西走，方向相反的时候用正数和负数表示，小红站着没动，不知道向东还是向西，所以既不是正数也不是负数。

师：说得很好。正数和负数表示相反意义的量，从图上看，0表示小红站在原地，没有出现相反意义的量，所以数学上规定0既不是正数也不是负数，是正数与负数的分界点。这样，可以把我们所认识的数分为几类？

生：有正数、0和负数。

负数的出现丰富了“0”的内涵。在学生原有的知识体系中“0”表示没有，是最小的数。然而负数的出现使“0”成为正数与负数的分界点（原点），即“0”既不是正数也不是负数。从逻辑上看，确定原点是构成相反意义两个量的前提条件。但从学生的学习心理看，“0”的抽象性高于负数，是学生理解的难点。体验“0”的意义对于深化概念理解有着重要意义。教学中采用教材上例3的大树图，借助数形结合形象地解释了“0”作为正、负数分界点的意义，有效地突破了难点。更重要的是这幅图为学生呈现了数轴的雏形，构建了完整的有理数系，为后继学习作了有益的铺垫。

三、关注学生差异，把握思维拓展的尺度

数学课堂的拓展与延伸同样是提升课堂效度非常重要的教学环节。有效的教学拓展能使本堂课的教学内容得到升华和总结，同时又能使学生绽放思维的火花，培育积极情感，并为后继学习做好渗透、打好基础。但是，拓展需要把握好尺度。就笔者的观察，课堂拓展部分太难、太偏的现象普遍存在，造成了学生望而生畏，其效果适得其反。好的课堂练习设计必然是同时兼顾知识技能的巩固和思维能力的发展两个方面。那么，如何在两者之间找到一个契合点，更大程度上关注学生之间的差异性呢？

【片段六】

1.比赛用的羽毛球规定了标准质量，4只羽毛球称重，并和标准质量比较后记录为：

①号球 -0.5克 ②号球 0克

③号球 +0.35克 ④号球-0.2克

师：这里的“-0.5”“+0.35”分别表示什么意思？

生：“-0.5”表示比标准质量轻0.5克，“+0.35”表示比标准质量重0.35克。

师：②号球真的重0克吗？

生：不是，这个“0”表示②号球和标准质量相差0克。

师：也就是说②号球的质量正好与标准质量相等。这些羽毛球中哪个最重，哪个最轻？

生：我觉得③号球最重，④号球最轻。

师：有不同意见吗？

生：我也认为③号球最重，但我认为最轻的应该是①号球。

师：说说理由。

生：因为①号球是-0.5克，也就是比标准质量轻0.5克，而④号球是-0.2克，只比标准质量轻了0.2克，所以我觉得①号球更轻。

师：是吗？我们画图看一看（板书，如下图）。

师：从图上我们可以比较明显地看到①号球比④号球更轻。

2.通常，我们规定海平面的海拔高度为0米。

师：珠穆朗玛峰和吐鲁番盆地的海拔高度应该怎样表示？

生：珠穆朗玛峰海拔高度为+8843.43米，因为它比海平面高8843.43米。吐鲁番盆地的海拔高度应为-155米，它比海平面低155米，正好相反。

师：图瓦卢是南太平洋上一个非常小的岛国，该国平均海拔高度为+1.2米，表示什么意思？

生：“+1.2米”表示这个国家的平均海拔高度比海平面高1.2米。

师：如果海平面上升2米，以上这些海拔高度会发生什么变化？

生：珠穆朗玛峰海拔高度变为+8841.43米，因为海平面上升了，海拔高度缩短了2米。而吐鲁番盆地的海拔高度变为-157米，它离海平面更远了。

生：图瓦卢的平均海拔高度会变成-0.8米。

师：为什么变成用负数来表示了呢？

生：本来它的平均海拔高度在海平面以上，用正数表示，现在海水上升2米，它已经在海平面以下了，2-1.2=0.8（米），所以用“-0.8米”表示。

师：你们认为地球上海平面上升这种情况会不会出现？

生：会的，如果全球气候变暖，两极冰川融化，海平面就会上升。

师：看来保护环境、低碳生活真的非常重要。

上述两道习题的设计都力图体现问题的拓展性，即在同一个问题情境下逐步提升思维要求，满足不同层次学生的需求。如第一题中，第一层次是面向全体学生的基础题，结合具体情境解释正负数和0的意义；第二层次则体现了一定的思考性，学生的思考是基于对负数意义的理解，而教师在此基础上借助数形结合进一步使学生更直观地比较出两个负数的大小。第二题是在课本习题（教材第4页“做一做”第二题）的基础上适当作了改动，增加了思维要求。如“如果海平面上升2米，以上这些海拔高度会发生什么变化” ，这里既可以作数学思考（感悟绝对值的意义），也可以作一些人文思考（环保意识的渗透）。可见，数学课堂的拓展应立足于教学内容，把握好尺度，既有利于课时目标的达成，又能适度发展学生的思维能力。

总之，笔者认为，有效课堂的核心价值在某种层面可体现为：关注学生真实的学习起点和学习状态；关注学生数学学习的过程性体验；关注学生数学思维的有效发展。尽管每堂课的教学内容不同，但只要在教学设计和实施中合理把握角度、厚度和尺度，必将有利于提升数学课堂的效度。

（浙江省湖州市凤凰小学 313100）