分段函数在分段点处几个问题讨论

【摘 要】分段函数是函数问题中的难点，本文对分段函数在分段点处的连续性、可导性、不定积分及定积分等问题作了一些方法的探讨。

【关键词】分段函数；导数；不定积分；定积分

分段函数在经济应用数学中是一种常见的函数，往往有很多实际问题可以用分段函数来表达，而在问题的分析过程中常常用到分段函数在分段点的连续性与可导性，这些正是学生感到头疼的问题，本文对分段函数在分段点的一些问题做了些讨论，给出一些新的方法并加以论证。

一、分段函数在分段点的连续性

根据函数在一点连续的定义，即函数在点的领域内有定义，如果，则称在点连续。因此对于分段函数判断在分段点的连续性必须三步完成：①判断分段点处是否有定义：②判断在分段点处的极限是否存在：③判断极限是否等于该点函数值。

例1：讨论分段函数：

在处的连续性。

解：，而：

因此，所以函数在处的连续性。

例2：设函数：

试研究在处的连续性。

解：

所以在处不连续。

而当时分段函数在某一区间内一点时，则在处的连续性问题成为初等函数的连续性问题，即由初等函数在其定义区间内都是连续的知在处连续。

二、分段函数在分段点的可导性

任何一本高等数学教材在给出了定义之后，都给出了可导的必要条件，即“可导必连续，但连续不一定可导。”这一条件的另一说法是：在一点不连续一定在该点不可导。

因此，对于分段函数，讨论它在分段点处的可导性一般分为两步：

1.若在点不连续，则它在点一定不可导；

例如：

讨论是否存在。

因为；而，，所以函数在在不连续。故可知不存在。

2.若在点连续，且在点的左、右导数都存在且相等，则在点可导。

对于这种情形左、右导数用定义一般可计算。

设，求。

解：

由于=1，所以=1。

其实对于第二步中，若函数满足一定的条件，可不必用定义去计算，对此介绍如下事实。

定理：设函数在连续，且在区间可导，若存在，则存在，且。

证明：任取一点，由于在连续，在区间内可导，所以在上连续，在内可导，由微分中值定理，存在，使得：

从而有：

由题设知存在，所以右导数存在，且。

同理可证得：设函数在连续，且在区间可导，若存在，则存在，且。

本定理的意义在于在连续区间的左、右端点的导数，等于导函数在左、右端点的右、左极限值，仍是把求导问题转化为函数的极限问题。

利用该定理可解决分段函数在分段点的导数问题比用定义要简单得多，比如以上例3可用此定理这样解，因为：

，，

即说在连续。

由于：

所以：，

由如上定理可知，，从而。

三、分段函数的不定积分

我们先看例子。

例3：设，求。

解：先分段求原函数（去掉分段点）：

再考虑分段点的情形：由于是的第一类间断点，是的连续点，因此的不定积分只能分别在区间和内得到：

令，解得：。

因此：

其中：是两个独立常数。

例4： 求。

令，则：

设为的一个原函数，则有：

（下转第70页）（上接第53页）

其中：，，为待定常数。

因为原函数连续，故：

求分段函数的不定积分时，应分别求出函数的各个分段在相应区间内的不定积分，然后考察被积函数在分界点的连续性。如果连续，那么在包含该点的区间内原函数存在，这时只要根据原函数的连续性，求出积分常数即可；如果分界点为被积函数的第一类间断点，那么包含该点的区间内部存在原函数。

因此，如果一个函数存在间断点，那么此函数在其间断点所在的区间上就不一定存在原函数，所以在求分段函数的不定积分时，一定要注意考虑间断点处的情况。

四、分段函数的定积分

对于分段函数的定积分一般教材中介绍很少，学生对于这类问题一般很生疏，往往不知道如何下手。解决这类问题的关键是如何根据被积函数，将定积分化为若干个一般函数的定积分。

例5：设，求。

解：令，则：。

由于正在[-1，1]上，的表达式不同，根据定积分的性质：积分对区间可加性，将定积分分成[-1，0]和[0，1]上的两个定积分计算，所以：

=

综上所述，对于分段函数的相关问题是比较复杂的，涉及的知识面比较广，综合性强。本文对分段函数在分段点处的各类问题作了一些的讨论，对于提高知识运用的综合能力是很有帮助的。

参考文献：

[1]同济大学应用数学系.高等数学(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2002.

[2]周冬林.分段函分界点有关问题的讨论[J].河南科技学院学报,2006(1):137-139.

作者简介：邹小云（1974－），女，武汉大学硕士，湖北职业技术学院教师，主要研究方向：概率统计。