“经历过程”不是“一走而过”

中图分类号：G623.56 文献标志码：B 文章编号：1673-4289（2013）10-0022-03

在数学学习过程中引导学生形成一定的数学思想既是新一轮课程改革的要求，又是提升学生数学素养的基本目标。对不同年龄段及不同思维水平的学生感悟数学思想的要求与深度应是不同的，应遵循儿童的心理特征与认知水平。这就要求教学一线的教师在引导学生经历知识的形成过程中要针对不同的教学内容和学生，做到“因材施教、因人而异”地引领学生感悟数学思想，并最终形成解决实际问题的数学思想方法。在经历知识探索过程中，有的数学思想外显而显得比较清晰，而有的数学思想内隐，则显得相对模糊。所以，在平时的教学实践中，一定要捕捉知识形成过程中的数学思想，因为经历知识形成的过程其实就是数学思想渗透与感悟的过程，而不能“一走而过”。

一、“经历过程”需要“边走边说”，感悟归纳思想

学生在课堂上的说话、回答、发言等“课堂之说”，既反映学生对知识形成过程中的理解深度，也反映出学生对知识建构过程中所表露出来的思维水平，更是学生对数学概念、数学现象以及数学规律的一种数学归纳。因而，不能忽略学生在课堂上的“说”，更不能抑制学生课堂上的“说”。尤其是低年级学生，课堂控制能力差，课堂上每一句“即时话语”的迸发，均是学生内心深处真实的想法。如此的真实想法，在暗示教师教学时，要放手让学生说，并要有意营造轻松和谐的环境与空间引领学生说，促使学生在说的过程中感悟归纳思想。

例如，教学二年级“认识乘法”。教师出示：

一共有多少条毛毛虫？学生观察思考并完成填空：++++=；（ ）个（ ）相加得（ ）。在学生填出方框和括号的基础上，引导学生写出2×5。教师则认为教学目标已达成。这样“一走而过”地教学既不利于学生对“乘法意义”的理解与建立，更忽略了学生对数学思想的感悟。因此，教学时需要把数学思想渗透到知识的形成过程中进行设计并引导学生：（1）一共有多少条毛毛虫？你是怎么知道的？是一条一条加的吗？（2）你为什么要2个2个加呢？怎么想的？（3）这儿的连加算式你能用自己的语言说一说它的含义吗？（4）说一说5个2相加是什么意思？你能用算式表示出来吗？（5）5个2相加与5和2相加相同吗？说说自己的想法。如此的追问引导学生说，学生就会从加法到乘法的意义建构过程中，初步归纳得出：“几个几相加可以写成乘法，乘法就表示几个几相加”的数学结论。继而在建构“乘法意义”的数学概念的同时，感悟了归纳的数学思想。

二、“经历过程”需要“边走边动”，感悟分类思想

分类数学思想在小学数学教材中，更多的是安排在“统计”单元中，从一年级的“分一分、数一数”教学活动中，就开始初步向学生渗透分类的数学思想。其实，在“统计与概率”之外的其他数学领域依然可以向学生渗透初步的分类思想。教学时教师要能抓住事物本质特征，关注数学知识的联系与区别，通过动手实践操作，引领学生在建构与理解数学知识的过程中，感悟分类的数学思想。

例如，三年级学生在探索长方形周长计算方法时，由于学生还未涉及混合运算中综合算式的计算方法，教师无法向学生提供“（长+宽）×2”公式法的计算思路与方法，只能引领学生根据已有的知识经验，从长方形的周长定义出发，展开思考：长方形的周长是指什么？引导学生说出“围成长方形四条边长的总和”。在此基础上，教师要求学生列式求长方形的周长。课堂上教师出了一道又一道的周长练习题，学生都是用“长加长，宽加宽，然后把两次和相加”的三步计算方法，很少看到学生用“长加宽，然后再乘2”的两步计算方法。如果教学到此，教师不进一步引导学生探究两步计算的方法，会影响学生对长方形周长意义的深度理解，也不利于学生对后续长方形及其他平面图形周长公式化计算方法的探索与研究。

因此，此时不能再凭学生的直观观察让学生说说长方形的周长是指什么？因为学生头脑中的直观思维只会把同类的边长相加，即长加长，宽加宽，很难想到把长与宽相加。此时教师应引导学生动手操作，在实践中展开数学思考，从而弥补学生“凭空思考”的不足。首先让学生用四根小棒摆出长方形，然后引导学生思考你所摆出长方形的周长是指哪些小棒的总长？学生立即应答这四根小棒的总长。教师在此基础上追问：如何计算这四根小棒的总长呢？是直接一根一根依次加起来吗？你会先分一分再计算吗？课堂上学生立刻动手进行分类，并很快分出“长长、宽宽”和“长宽、长宽”两类。此时教师提出在你分类的基础上列式解答长方形的周长。这样学生就很自然地掌握“长加长，宽加宽，然后把两次和相加”和“长加宽，然后再乘2”的两种不同的求长方形周长的计算方法。在探索长方形周长计算方法的过程中如此引领学生“边走边动”，既让学生在动手操作的过程中感悟了分类的数学思想，也使学生体会到在分类数学思想的指引下探索数学方法的科学性和有效性，使数学思想与数学方法相互融合，相互支撑。

三、“经历过程”需要“边走边看”，感悟推理思想

小学数学课堂里向学生渗透推理数学思想，虽然没有或很少出现那种“层层推进、环环相扣”的逻辑紧密的证明推理过程，但当教师向学生揭示某一数学原理、数学规律抑或数学现象等数学结论时，必须要给学生明确数学结论下定义时的合理条件或使学生信服的理由。而引导学生经历在合理条件或信服理由背景下得出的数学结论时所表现出来的数学方法这一思维过程，就是一种数学推理的渗透过程，学生就会初步感悟推理的数学思想。因此教师在平时的教学实践中，要善于从数学知识本质内涵出发，使学生在常态的数学课堂中，时常用“推理型”的思维展开数学思考，从而不断感悟推理的数学思想。

例如，教学“认识年月日”。一线教师均会出示当年的年历，并引导学生观察得出大月、小月以及二月（俗称平月）的天数，然后及时总结得出大月有31天，小月有30天，接着又出示近几年的年历，引导学生观察二月的天数，使学生发现二月有时28天，有时29天。最后，引导学生加强记忆一年中大月、小月以及二月的月份数及天数。细细品味这“大众化”的教学过程及思路，是完全基于教师成人的已有知识经验基础上的教学设计，教者根本没有关注学生已有知识经验。因为就凭当年的一份年历就迫使学生得出大月有31天，小月有30天，不具备普遍性和说服力。同时无论是大月、小月还是平月，对于学生来说都是未知的三个新的知识点，均需要学生在课堂上进行观察思考，最后发现规律得出结论。而教师只引领学生观察近几年二月份的天数是远远不够的，那是基于教师心中已经知道“每年大月、小月的天数不会变化，只有二月份的天数不确定而且是每四年变化一次”这一已有知识经验展开教学的，并没有关注学生的学习现实和思维现实，扼杀了学生的观察能力和推理意识。

因此，教学中教师需要不断地依次出示近几年来或任意某年的年历，让学生通过仔细观察并展开数学思考。引领学生在“边走边看”中发现任意一年的一、三、五、七、八、十、十二等7个月的天数均为31天，四、六、九、十一等4个月的天数均为30天，在此基础上教师引导学生推理得出：天数有31天的月份称为大月，天数有30天的月份称为小月，二月既不是大月也不是小月等数学概念与结论。如此引出和揭示数学概念与结论，学得信服，理解才会扎实，内化才会深刻。学生也一定会在经历探索大月、小月以及平月的数学知识中感悟推理的数学思想。

四、“经历过程”需要“边走边想”，感悟抽象思想

儿童思维虽然主要以直观形象思维占主导，但在教学过程中教师要善于捕捉数学知识形成过程中的“抽象过程”，引领学生经历直观形象的图形、文字、符号等感性材料的认知逐步向理性思考过渡，使学生的数学思考在感性认识的基础上，充满理性思维，由直观形象思维发展为抽象逻辑思维。这样既使学生经历了知识的形成过程，又使学生在建立数学概念过程中，感悟了抽象的数学思想，提升了学生的认知能力和思维素养。

例如，教学“用字母表示数”。教师教学时一般会以表格的形式引导学生观察摆三角形所需小棒的根数。在学生回答的基础上教师利用多媒体课件逐步出示如表1：

当教师借助表格引导之后，一般都会直接问：像这样用小棒摆三角形如果摆n个三角形需要几根小棒？引导学生说出（n×3）根。如此直接揭示了抽象的结果而忽视了引领学生经历“抽象化”的数学过程，学生不但未能感悟抽象数学思想，而且对用含有字母的式子表示数量关系的构成及含义感到困惑和茫然，从而抑制了学生对新知的建构与内化。

因而，教师需从“用字母表示数”的本质内涵出发，引领学生在经历知识的形成过程中“边走边想”：三角形的根数都是怎么算出来的？生：三角形的个数×3。师：这个数量关系式太长了，你能缩短一些表达吗？生：三角形×3。师：能再缩一缩吗？生：个数×3。师：你能用数学的方法更简洁一些吗？生：a×3。其它学生自发插话：b×3，c×3，m×3……从学生的一步步应答中可以进一步明晰：学生在教师的启发与引导之下，头脑中始终在思考如何能够更简洁却又能表达出小棒根数计算的方法，这就促使学生主动抓住数量关系式中的变量与不变量，展开数学思考，而这一思维过程正是引领学生从直观的文字表达向含有字母的式子进行逐步抽象的过程，使学生在脑海深处印记了只有三角形的个数是一个变量，可以用字母来表示，而所乘的“3”是由三角形特征所决定的不变量，无需用字母表示。因此，数学知识的建构过程就是学生感悟数学思想的过程。在感悟数学思想的过程中，使学生进一步体会了抽象的数学知识，经过“抽象化”过程后，其结果才会得到直观化、形象化，助推了学生对数学概念的建构与理解。

五、“经历过程”需要“边走边议”，感悟模型思想

基于“生活数学”的教学理念，培养小学生的模型思想，可以从两个角度加以思考：一是从生活原型中逐步抽象出数学模型，继而建构新的数学知识；二是解决生活实际问题时要让学生用数学模型中的思想方法去解释生活现象。因此，新知的学习需从生活原型中建立数学模型，而知识的应用则需要用数学模型思想方法去解释生活现象，继而达到巧妙解决生活问题的目的。

例如，“图形覆盖问题”的教学。出示：有6个人排成一排拍照，AB两个人坐在一起拍照一共有多少种不同的坐法？

1.从生活原型出发，建构数学模型。引领学生“边走边议”经历如下过程：（1）请画图表示题中的含义。（2）AB两人要坐在一起，可能会坐在哪儿？你能有序地描述AB两人坐的位子吗？（3）你们所描述的现象能用以前学过的知识进行概括吗？课堂上利用教具平移AB的位置，学生通过自主讨论后很容易观察发现得到规律：总人数-AB两个人+1=不同坐法的种数。

在此基础上，教师引出模型问题：如果每次框出两个数，一共有多少种不同的和？学生自主得出：总个数-框里的个数+1=不同和的个数。这一过程使学生亲身经历了从生活原型到数学模型的建立，再到数学方法的形成，最终发现了图形覆盖问题的数学规律，建构了图形覆盖问题的解决方法，使学生在感悟数学模型思想方法的同时，进一步内化了新的数学知识。

2.从数学模型出发，解释生活现象。在解决实际问题的过程中，依然要引领学生经历感悟数学思想过程，而不是一味地单一地列式求出结果，理应用数学中的模型思想解释题中的生活现象，继而使学生领悟出解决此题所要选择的对应的数学思想方法。学生可作如下“边走边议”：（1）你能找出这道题里所隐含的数学现象吗？（2）在学生回答出图形覆盖的规律时追问：把什么可以看作框里的数？平移的次数怎么看出来？“一共有多少种坐法”相当于求什么？学生经过如此追问与思考，图形覆盖中规律的数学模型就会立刻浮现在学生的脑海，学生就会把图形覆盖中规律的数学模型与解决此题的数学方法对应起来，继而感悟了解决此题的数学思想方法。因此，只有让学生经历知识形成过程中的“边走边议”，让学生从生活走向数学，再由数学走向生活，如此“双向”地行走在数学模型思想方法的道路上，学生不仅自然地感悟了数学思想，也形成了解决实际问题的数学思想方法，丰富了学生数学头脑，提升了学生的数学思考力。

综上所述，数学思想是因知识的形成而存在，因人思维的存在而形成。当然，在探索知识的过程中，数学思想不是孤立存在的，理应是相互联系、相互依存、相互渗透。只是在同一知识的建构过程中有的数学思想可能更为凸显，而有的相对内隐一些。不管怎样，探索知识形成、感悟数学思想理应是小学数学课堂的不懈追求，是学生综合素质发展的必然需求。

（作者单位：江都区仙女镇中心小学，江苏，扬州 225200）