时间：2022-08-07 10:12:10
三议三上：从此案到彼案
小学数学规则的主要内容为法则、定律、公式等。规则学习是小学数学学习的重要组成部分。以数学规则教学为主题，笔者所在学校的四数备课组进行了三次主题沙龙。
在第一次沙龙中，备课组认为规则教学的一般模式为“提供情境、形成猜想、进行验证、形成规则、运用规则”，即“观察——猜想——验证——运用”。随后以“5的倍数的特征”为例进行教学尝试，通过观察形成猜测，并通过大量举例得出结论。
在第二次沙龙中，备课组老师对于“小范围观察——形成猜想——大范围验证——得出结论”充分给予认可，但同时指出在举例指导上教师缺位。在第二次尝试中，“如何举例验证”这一环节，教师着力借助比较引导思考。“我更喜欢第二位同学的。因为他举的例子有三位数、四位数、五位数，类型不同，比较全面。而第一位同学都找三位数，只能说明三位数中个位上是5或0的都是5的倍数。”这样的思辨规避了简单应用不完全归纳推理的弊端，体现了让不完全归纳走向完全的雏形。
在第三次沙龙中，一位同学的提问引发了新的问题链。“我们举的例子中有三位数、四位数、五位数，我自己还计算了一个九位数，都是成功的。但是如果计算器不能算出来的数，是不是也符合这样的猜想呢？”于是，我们开始了第三次教学尝试，“从一位数到两位数、三位数、四位数、五位数……甚至我们同学任意举例的九位数，我们举了这么多例子有没有不符合猜想的？”“到目前为止我们还只能说明九位数以内的整数可以通过个位进行判断。”“如果是十位数、十一位数……不能借助计算器计算怎样思考呢？”在不断地追问与自问中，从感性的不完全归纳走向了理性的初步推理思辨。
三次沙龙，三次执教，三次反思，从理解到建构，从建构到重构，在教研中教师不断丰富着对于规则教学的理解，也享受着“从此案到彼案”、“从此岸到彼岸”的研究的幸福。
三省三思：从此岸到彼岸
一、内容解析：从字词句段走向篇章体系
小学数学中的规则学习如散落的珍珠遍及小学教材的12册。在规则教学过程中不能见木不见林。需要教师站在全局出发，了解其内容体系。确定每一单元、每一课时内容的位置，了解其在知识体系中的价值与作用。
1.基于系统视野解读文本
在小学数学的规则学习中，根据所学数学规则与原有认知结构中有关数学知识之间的关系，规则学习主要分为上位学习、下位学习和并列学习。
如果所学习的新知识在概括水平上高于原有认知结构中有关内容，需要归纳、综合、概括成新的数学规则，那么这时的学习就是上位学习。上位学习须具备两个条件：一是所学习的数学规则在概括层次上要高于原认知结构中的已有知识；二是原认知结构中要有可供归纳和概括的内容。如：根据长方体的体积计算公式V=abh、正方体的体积计算公式V=a3、圆柱体的体积计算公式V=πr2h概括出统一的计算公式V=Sh。
如果所学习的新知识在概括水平上低于原有的认知结构中的知识水平，那么这时的学习就是下位学习。下位学习从其类型来分，又可以具体分为派生类属学习和相关类属学习。派生类属学习是将要学习的新规则整合到原有认知结构的有关内容中去，新规则对原有知识只起支持或证实的作用。如圆柱体的体积计算方法，借助于长方体的体积计算方法，通过把圆柱体转化为近似的长方体，从而派生出圆柱体的计算公式V=Sh。相关类属学习是指将要学习的新规则整合到原有认知结构中的有关内容中去，并使原有认知结构发生变化。如三角形面积计算公式虽然不能直接由平行四边形面积计算公式派生出来，但是可以通过平移旋转拼合转化成平行四边形，从而得出其面积计算公式s=ah÷2。
如果所学习的新知识仅仅是由原有认知结构中相关内容进行的合理联系，借助类比进行学习，那么这时的学习就是并列学习。并列学习所采用的思维方法主要是类比，其关键在于寻找新规则与原有认知结构中有关法则、规律、性质的联系，在分析这种联系的基础上通过类比实现对新规则的理解和掌握。如分数的基本性质、比的基本性质与除法中商不变性质，可以通过类比加以沟通，统一对“除数不能为0”“分母不能为0”“比的后项不能为0”的认识。
2.基于儿童立场展开过程
（1）重要规则多次渗透
为适应小学生认知能力及认知规律，小学数学中的重要规则，采用先渗透，再深化，逐步提高的分段编排方法。以苏教版教材为例：乘法分配律就采用了多次呈现、丰富感知、逐步深化的渗透式编排方法（如下图打勾部分所示）。
教材中相关内容编排如下：
二年级上册乘法口诀（一）想想做做
三年级下册 《乘法》单元练习四P35
四年级下册 《乘法》单元练习一P8
四年级下册 《混合运算》单元P36
四年级下册 《运算律》单元P54
（2）隐性规则多次感悟
根据儿童的认知特点，有些规则不形成命题的形式，而是通过习题给出。“隐规则”也是小学数学知识的重要组成部分。如减法、除法的运算性质，教材中未给出结语，但要求学生会利用它简化运算。以苏教版教材为例：一个数连续除以两个不为0的数，等于这个数除以这两个除数的积。这条规则作为隐规则就多次在苏教版教材中通过习题形式展现。通过观察、计算、比较，感知规则，并进而应用规则。
教材中相关的内容呈现如下：
三年级上册 《除法》单元复习P12
三年级下册 《除法》单元练习一P5
三年级下册 《除法》单元复习P15
二、目标解析：从知识技能走向过程方法
规则教学作为数学教学的重要组成部分，其目标定位需要在整个数学教育的大目标体系中寻求到其对应元素。
1.目标定位基于价值思考
对比各国的数学教育目标，可以发现相似度颇高，对于数学规则学习所承载的意义也有很多相通之处。
法国小学数学教育的目的在于培养推理能力和发展学生的抽象思维。教学指导别指出要注意培养学生的论证能力。美国的《中小学数学课程与评估标准》指出应当集中精力学会将推理和证明作为理解数学的一部分，以便所有学生承认推理和证明是数学的本质和有力的部分；提出和考察数学猜想；发展和评价数学争论与证明；选择和使用各种适当的推理形式和证明方法。而我国的数学课程标准认为：学生应“在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法”。
2.目标定位关注过程体验
规则的教学，在小学中主要有两种呈现方式。
（1）例证——规则学习。先呈现与数学规则有关的若干例证，再引导学生观察、分析，逐步概括出一般结论，从而获得数学规则。教材大部分内容都属于例证——规则的学习。如：加法运算律、乘法运算律、长方形的面积公式、长方体的体积公式等都可以通过这种学习方式，通过归纳推理得到结论。
（2）规则——例证学习。就是指教师先向学生呈现某个规则，然后通过若干的实例来说明规则的一种教学模式。这种教学模式往往比较适用于规则的下位学习。其条件就是学生必须掌握构建规则的必要概念。例如，在学习了长方形的面积计算规则（公式）后，学生可以利用已构建的数学概念（正方形的特征以及正方形与长方形之间的关系等），直接获得正方形的面积计算公式，然后再通过多个例证来进行验证。
无论哪种学习模式，规则学习都是发现规则、确认规则、运用规则的全过程，并且在此过程中经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力。正如史宁中教授在《的若干思考》报告中所言：智慧并不表现在经验的结果上，也不表现在思考的结果上，而表现在经验的过程，表现在思考的过程。
三、策略解析：从生搬模式走向模型建构
数学规则的建立是在教师引导下学生主动建构数学规则的过程。作为数学模型的重要组成部分，规则教学具有模型教学的一般方式与特征。各个版本的教材均向学生提供了现实的、有趣的、富有挑战性的数学规则学习内容，这些内容的呈现大多以“问题情景——建立模型——解释模型——应用拓展”的基本形式展开。
1.规则的引入：在观察分析中建立猜想
小学数学中的法则、定律、公式等都是一个个数学模型，如何使学生通过建模形成数学模型？其中一条很重要的途径就是把生活原型上升为数学模型。一般可以向学生提出一些供研究、探讨的素材，并作必要的启示引导，让学生在一定的情境中独立进行思考，通过运算、观察、分析、类比、归纳等步骤，自己抽取模型，建立猜想和形成规则。
（1）用观察、实验的方法引入规则。教师提供材料，组织学生进行实践操作，通过动作思维去发现规则。如：长方形面积的计算，通过摆放小方块，感受小方块的个数与长和宽的关系，通过观察发现其规律，从而提出猜想。
（2）用观察、归纳的方法引入规则。如：前例中关于5的倍数的特征的学习，通过枚举100以内的5的倍数，进行观察发现其特点，形成猜想。
（3）由解决实际问题的需要引入规则。如：积的变化规律。教师通过呈现购物情境，一本笔记本3元，买5本这样的笔记本需要多少元？买20本、50本呢？通过对算式的观察形成猜想。
2.规则的确立：在合理验证中确认模型
从数学教学的角度看，在规则的探索与理解过程中，蕴含着丰富的教学价值，其模型建构的过程是学生数学学习的重要内容之一，其规律的探索过程可以渗透基本的数学思想，能增加学生的有效体验。从学生学习的角度看，学生对规则的探索与抽象的体验过程直接影响着他们能否有效建构数学模型，在知识与应用中架构互通桥梁。
学生自主验证的过程是不断丰富认知的过程，是自我反省的过程，也是模型建立的过程。在此过程中，教师要摒弃走过场、纯形式的观点，要综合运用多种论证方法，帮助学生从懵懂走向清晰。
（1）分类枚举 合情推理
归纳推理是从特殊判断到一般判断的推理。归纳推理的一般步骤为：实验、观察——概括、推广——猜测一般性结论。归纳推理分为完全归纳和不完全归纳两种。借助归纳推理可以培养学生“预测结果”和“探究成因”的能力。
完全归纳是根据某类事物的每一种特殊情况做出一般结论。体现在三角形的内角和的探究中，教师可以引导学生对不同类别的三角形进行研究，得出直角三角形的内角和是180°，锐角三角形的内角和是180°，钝角三角形的内角和是180°，从而得出任意三角形的内角和是180°。通过分类例举得出结论，从而形成清晰、完全、科学的数学认知，提升对于三角形内角和模型的认知程度。
不完全归纳是仅根据某类事物中的部分情况具有某种属性做出一般性结论。这在小学规则教学中更为常见。例如，2、3、5的倍数的特征、运算定律、分数的基本性质等。一般先举几个例子，然后再得出一般结论。不完全归纳法，因其存在一定的局限性，因此在例证的选择中需要作相关的指导。其基本要求是：（1）类型尽量多样。例证的类别要尽可能地广，每一个例证要能代表不同的情况。避免出现同一类型例证反复出现的情况。（2）考虑特殊情况。如：分数的基本性质、商不变的规律，都需要考虑到0这种特殊情况。否则，学生通过例证推理获得的结论将不科学。（3）尽量寻找反例。运用不完全归纳推理要防止出现只根据一部分对象的表面的、偶然的事实，就轻率地推出全称性的结论。
（2）理性分析 演绎推理
归纳推理是从特殊到一般的过程，而演绎则是从一般到特殊的过程，是根据一般结论推导出个别的特殊的事物性质的推理方法。
数学推理的一个主要目标是使学生的推理能力得到发展，并且在他们的数学学习过程中，在合适的地方，获得构造证明方法的工具，应鼓励学生仔细地思考，理解并能够解释。随着学生对论证的方法越来越熟悉，其用数学语言来表达的能力也越来越得到提高。
在小学阶段，大部分规则学习需要借助于归纳推理，而也有部分规则学习可以作为载体培养学生初步的演绎推理能力。如对5的倍数特征的不断探究可以借助演绎推理进行证明。同时在下位学习中也可初步渗透演绎推理的三段论的方法。如：正方体的体积计算公式是在长方体的体积计算公式基础上进行后续学习的，教师可以适当引导学生初步运用演绎推理进行思考，因为长方体的体积=长×宽×高，而正方体是特殊的长方体，所以正方体的体积=长×宽×高=棱长×棱长×棱长=棱长3。
3.规则的运用：在类比推理中拓展模型
一个完整的学习过程应该是由兴趣、知识、记忆、情感、感知、反省、行动、平衡、摄动、重建、迁移等组建而成的循环过程。体现在规则学习的模型运用过程中，模型的运用又催生着新的模型的产生。
（1）由“个体确认”到“群体链接”
事实上，在规则的学习中，往往可以通过类比推理，提出新的猜想，从而拓展出新的模型。类比推理的一般步骤为：实验、比较——联想、类推——猜测新的结论。
如在运算律的教学中，根据加法交换律的模型可以构建新的猜想：有没有减法、乘法、除法交换律？学习了乘法分配律后，学生还可以建构出乘法对多个加数的分配律。探索得出积的变化规律，即一个因数不变，另一个因数乘几，所得的积等于原来的积乘几后，也可以通过类比推理，形成系列新猜想。
由于类比推理所得的结论有或然性，它不能代替科学论证，所以在推出结论后，需要进一步论证或在实践中检验。继而进入了新的猜想——验证——运用的阶段。
（2）由“部分突破”到“整体迁移”
在规则的教学中，教师可以引导学生根据两个事物在一系列属性上的相似之点，通过类比推理，从而作出另一个事物也具有同样的其他属性的结论。新规则的衍生实则体现的是大数学视野下学生整体数学认知能力的提升。
如在图形的面积、体积计算中，运用类比推理进行思考：圆可以分成一些相等的扇形，再拼成一个近似的长方形，从而导出圆面积计算公式；直圆柱的两底面是半径相等的圆，因此可以把圆柱底面分成一些相等的扇形，按底面扇形大小切开，再拼成一个近似的长方体，从而导出圆柱体体积计算公式。在类比推理中，新规则与原有规则通过自我加工、自我建构，纳入到同一个认知体系中，使认知结构更趋完善。
（3）由“正确掌握”到“灵活构建”
学生能否正确地运用所学的规则，除了能按规则正确进行操作，对规则运用条件的正确认知也是一个重要的方面。因此，教师必须重视对学生进行规则运用条件认知的训练。在“正确掌握”的基础上，要进一步培养学生灵活运用规则解决问题的能力。为此，应着重训练学生运用策略改造题目的能力，以及预见进程合理抉择的能力。“正确掌握”是“灵活构建”的前提，“灵活构建”是“正确掌握”的发展。
规则的学习过程，是一个不断数学化的过程；而研究规则学习的过程，也是一个充满思辨的过程。在此过程中，收获的不仅是数学的知识技能与方法，更多的是一种数学研究意识与真正的数学研究能力。
（王岚，常州市武进区湖塘桥中心小学，213161）