用中值定理证明不等式问题

【摘 要】在高等数学中，证明不等式问题对学生来说是重点难点，该问题也是考研的热门题型，证明不等式方法很多，本文将利用分析的方法归纳出一套证明不等式的模式化方法，并总结出根据不同题型的特点选择不同解法的要点，从而使复杂的各种不等式证明问题有规律可循，该方法也大大提高了考研学生在这部分题型中的得分率。

【关键词】不等式；拉格朗日中值定理；柯西中值定理；泰勒中值定理

在各种中值定理证明不等式的问题中，用拉格朗日中值定理和柯西中值定理来证明不等式的问题一般来说较为简单，这类题目往往有规律可循，这种规律就是不等式中两个端点值往往是对称出现的。我们首先来看拉格朗日中值定理及柯西中值定理

拉格朗日中值定理：设满足：1在上连续，2在内可导，则至少存在一点， 使得.

柯西中值定理：设， 满足：1在上连续，2在内可导，3对任意，有 . 则至少存在一点， 使得.

例1 证明不等式

分析：该题目是典型的对称式题型，根据其特点，很容易想到设函数为 显然在上满足拉格朗日中值定理的条件，则至少存在一点， 使得，即，由于，有即

又例如：设，在上连续，在内可导，证明在内有

该题也是对称式题型，并且有“”这个因子，所以首先想到拉朗定理，观察结论即可设=， 其余步骤与例1类似.

又如： 设，证明

该题型涉及两个基本初等函数：指数函数与三角函数，并且题目也是对称题型，因此要想到柯西中值定理. 设 利用柯西中值定理即可证得该结论.

该题方法十分典型，凡遇到条件中给出中两个的范围，求另一个范围的题，往往考虑用该方法.

例5 设在上三阶可导，， 求证：存在， 使得.

观察发现该题中有的信息，没有的信息，最后考察的信息，思路是：1要用泰勒中值定理 2要想办法消掉 3观察到

参考文献：

[1] 同济大学应用数学系. 高等数学（第5版）[M]. 北京：高等教育出版社，2002.

[2] 常迎香，栗永安. 高等数学 （第2版）[M]. 北京：科学出版社，2011.

[3] 李永乐，李正元. 考研数学复习全书 [M]. 北京：国家行政学院出版社，2012.

[4] 黄庆怀. 考研高等数学辅导教材 [M]. 北京：北京航空航天大学出版社，2012

[5] 陈文灯，黄先开. 考研数学复习指南 [M]. 北京：北京理工大学出版社，2012