双重最值问题的解法初探

【摘要】双重最值是指研究函数最值的最大值（或最小值）问题，近几年来在高考和数学竞赛中出现的比较多，例如今年辽宁的第11题，本文通过一些典型题例对解决双重最值问题的方法进行了一定的初探和归纳.

【关键词】最值；转化；放缩；不等式

双重最值是指形如y=min{max{f（x1），f（x2），…，f（xn）}}或者y=max{min{f（x1），f（x2），…，f（xn）}}等形式的最值问题，近几年来在高考、数学竞赛和高考模拟中悄然兴起，根据函数中所含自变量的多少又可以分为一元双重最值和多元双重最值，本文通过对一些典型例题的解题策略进行了一定的探究只为了抛砖引玉.

一、一元双重最值可以通过图像求最值

例1对于任意x∈R，f（x）=max-x+3，312x+112，x2-4x+3，求f（x）的最小值.

分析对一元双重最值可以构造函数，利用函数的图像，数形结合，从图像上很直观地求解，简化解题过程.

解由题意可以在同一直角坐标系中画出f（x）=-x+3，f（x）=312x+112，f（x）=x2-4x+3，由图像可知f（x）的解析式为：

f（x）=x2-4x+3，x

-x+3，0≤x

312x+112，1≤x

x2-4x+3，x≥5，

由图像知：在x=1处，f（x）取得最小值，f（x）min=2.

例2（2013辽宁）已知函数f（x）=x2-2（a+2）x+a2，g（x）=-x2+2（a-2）x-a2+8.设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}，max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值，记H1（x）得最小值为A，H2（x）得最大值为B，则A-B=（）.

A.a2-2a-16B.a2+2a-16

C.-16D.16

分析先通过作差h（x）=f（x）-g（x）来比较f（x），g（x），分别解出h（x）=0，h（x）>0，h（x）

解h（x）=f（x）-g（x）=x2-2（a+2）x+a2-[-x2+2（a-2）x-a2+8]=2（x-a）2-8.

①当h（x）=0时，即x=a±2时，f（x）=g（x）；

②当h（x）>0时，即xa+2时，f（x）>g（x）；

③当h（x）

综上所述：（1）当x≤a-2时，则

H1（x）=max{f（x），g（x）}=f（x），

H2（x）=min{f（x），g（x）}=g（x）.

（2）当a-2≤x≤a+2时，则

H1（x）=max{f（x），g（x）}=g（x），

H2（x）=min{f（x），g（x）}=f（x）.

（3）当x≥a+2时，则

H1（x）=max{f（x），g（x）}=f（x），

H2（x）=min{f（x），g（x）}=g（x）.

故A=g（a+2）=-[（a+2）-（a-2）]2-4a+12=-4a-4，B=g（a-2）=-4a+12，

A-B=-4a-4-（-4a+12）=-16.

点评本题考查了一元二次函数的图像、作差法和数学结合的思想，对于一元双重函数通过函数图像可以优化解题过程，是一种比较理想的解题方法.

二、多元双重最值问题树立整体的观念，常转化为不等式求解

对于多元双重最值函数可以采取整体的思想，即从整体上去研究多元函数，以免研究每一个孤立的函数带来的分类讨论，再转化为不等式，利用处理不等式的一些技巧可以简化解题的过程，下面浅谈多元双重最值问题的几种处理技巧.

1.转化为同向不等式（同号）叠乘法

例3已知a>0，b>0，且h=mina，b1a2+4b2，其中min{a，b}表示a，b中较小的数，则h的最大值是.

分析根据给出函数定义：h≤a，h≤b1a2+4b2，a>0，b>0，利用不等式性质进行放缩.

解因为h=mina，b1a2+4b2，故h≤a①，且h≤b1a2+4b2②，因为a>0，b>0，两式相乘得：

h2≤ab1a2+4b2≤ab124a2b2=114，当且仅当a=2b时，hmax=112.

例4（2013南通二模）设实数x1，x2，x3，x4，x5均不小于1，且x1x2x3x4x5=729，则M=max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值是.

解M≥x1x2，且x2是不大于1的实数，M≥x1①，同理M≥x5②.

又M=max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}，M≥x1x2③，M≥x2x3④，M≥x3x4⑤，M≥x4x5⑥，将①～⑥式相乘：M6≥（x1x2x3x4x5）2=7292，M≥9，当且仅当x1=x3=x5=9，x2=x4=1时，Mmin=9.

小结通过上述两个例子我们可以看出：当M=max{x1，x2，…，xn}，x1，x2，…，xn同号时，不妨假设x1，x2，…，xn∈R+，题目已知条件是有关自变量的积之间的关系式时，可考虑M≥n1x1·x2·…·xn，这是解决多元双重最值的一个有效的策略.

2.转化为同向不等式叠加法

例5设x，y∈R+， M=max{|x+y|，|x-y|，|1-y|，|1-x|}，则M的最小值是.

分析确定基本变量（自变量）的大小关系，减少多个变量大小关系的可能性，利用绝对值不等式的性质进行放缩求最值.

解x，y∈R+，|x-y|≤|x+y|，

M=max{|x+y|，|x-y|，|1-y|，|1-x|}=max{|x+y|，|1-y|，|1-x|}，

M≥|x+y|①，M≥|1-y|②，M≥|1-x|③，

①+②+③式得：3M≥|x+y|+|1-y|+|1-x|≥|x+y+1-y+1-x|=2，M≥213，当且仅当x=y=113时，Mmin=213.

小结当M=max{x1，x2，…，xn}时，可考虑M≥11n（x1+x2+…+xn），这是解决双重最值的又一重要策略.

3.树立整体观念，建立关于最值的不等关系

例6设x>1，y>1，S=min{logx2，log2y，logy（8x2）}，则S的最大值是.

分析本题主要考查不等式的性质，利用不等式进行放缩，构造出关于S的不等式解决问题，考查学生分析转化与运算的能力.

解x>1，y>1，由题意知：

S≤logx2=11log2x，①

S≤log2y，②

S≤logy（8x2）=log28x21log2y=3+2log2x1log2y.③

将①②两个不等式代入不等式③，S≤3+21S1S，

S3-3S-2≤0，（S-2）（S+1）2≤0，S≤2，

当且仅当logx2=log2y=2时，即x=2，y=4时等号成立，Smax=2.

4.利用多元函数中自变量的对称性进行不等式的放缩

例7（2005上海数学竞赛）实数x，y，z满足x+y+z=0，且x2+y2+z2=1，记m为x2，y2，z2中最大者，则m的最小值为.

分析根据函数解析式中自变量x，y，z的对称性，不妨设出m，进行不等式的放缩.

解不妨设z2最大， x+y+z=0且x2+y2+z2=1，2z2=1+2xy.x+y+z=0，z2≥x2，z2≥y2，z与x异号，z与y异号，xy≥0，2z2≥1，z2≥112，即m≥112.

本文主要对双重最值问题的处理进行了初步的探究：一元双重最值通常可以通过图像法、数学结合，比较直观简洁地求解；多元函数的双重最值关键要形成整体的思想，转化为不等式，利用处理不等式问题的常用处理方法如同向不等式相加、相乘（同号）、放缩等方式达到求最值的目的.

【参考文献】

[1]杨文学.一类双重最值问题的求解[J].中学生数学，2004（10）：23-24.

[2]王根章.双重最值的两个结论及应用[J].数学通讯，2019（7-8）：33.

[3]沈杰.一类双重最值问题的简解[J].中学生数学，2005（15）.