基于数论变换快速算法实现经典功率谱估计及应用

摘 要 功率谱估计是利用有限长的数据估计信号的功率谱，功率谱估计可分为经典谱估计和现代谱估计。文章主要以数论变换快速算法研究经典谱估计中的修正算法，目前经典谱估计中主要采用周期图法和自相关法，而数论变换修正算法是在上述方法基础上进行改进得到的。

关键词 数论变换 功率谱估计

中图分类号：TP391 文献标识码：A

1引言

信号的功率谱密度描述随机信号的功率谱在时域和频域随频率的分布。利用给定的个样本数据估计一个平稳随机信号的功率谱密度叫做谱估计，谱估计方法分为非参数化方法和参数化方法。非参数化方法又叫做经典谱估计，而参数化谱估计又叫做现代谱估计。

2 经典功率谱估计

经典功率谱估计是截取很长的数据中的一段作为样本，而所截取样本之外的数据假设为零。根据截取的个样本数据估计出其功率谱可以利用相关函数估计功率谱、也可以利用周期图法估计出功率谱。这些方法实质上依赖于FFT，实现较为容易，可以采用快速数论变换使计算量大大降低。但由于利用周期图法和自相关法得到的功率谱方差性能不好，可以利用快速数论变换算法进行修正改进。

对于离散随机信号有：

上式中Rx（m）为离散随机信号的自相关函数，Sx（ejw）为功率谱密度。如果获取随机信号的自相关函数，可以通过相关函数的估值求数论变换即为功率谱密度。这样可由平稳随机信号的有限个离散值x（0），x（1），……x（N-1）求出相关函数：

然后在（-N，N）内Rx（m）作数论变换，得到功率谱

3 周期图法

周期图法是为了得到功率谱估值，先取信号序列的离散傅里叶变换，然后取其幅频特性的平方并除以序列长度N。由于序列x（n）的离散傅里叶变换具有周期性，因而这种功率谱也具有周期性，常称为周期图。周期图法是把随机序列x（n）的N观测数据视为一能量有限的序列，直接计算c的离散傅里叶变换，得x（k）。然后再取其服值的平方，并除以N，作为序列x（n）真实功率谱估计。信号功率谱的一个有偏估值。而且，当信号序列的长度增大到无穷时，估值的方差不趋于零。因此，随着所取的信号序列长度的不同，所得到的周期图也不同，这种现象称为随机起伏。由于随机起伏大，使用周期图不能得到比较稳定的估值。

因此取平稳随机信号x（n）的有限个观察值x（0），x（1），……x（N-1），求出数论变换。

设有，n=1，2，3，……，N-1，如果在序列x0，x1，x2，……，xN-1上的一个变换

XK=x（n） nk（modN） （1）

其中k=0，1，2，……，N-1，

具有如下形式的逆变换

x（n）=N-1X（k） -nk（modN）， （2）

n=0，1，2，……，N-1，并且满足（1）式具有循环卷积特性，则称（2）为一维数论变换，记为NTT， 其中 ∈Z。

4 经典谱估计的改进

从上面的分析知，周期图法不满足一致估计的条件，必须进行改进，采用的措施主要是将周期图进行平滑，使估计方差减少，从而得到一致谱估计。

相关函数进行谱估计以及修正方法对于周期图的谱估计，当数据长度N太大时，谱曲线图像起伏加剧，如果N太小，谱分辨率又不好，因此需要改进。利用数论变换快速算法是将N点的有限长序列x（n）分段求周期取余。将长度为N的数据分为L段，每一段长度为M，对每一段数据进行谱估计，然后对L段求平均得到长度为N的数据功率谱。

5 实验

6 结论

对于平稳随机过程来说，功率谱理论上的数值是不可能实现的，只能用有限观测数据来逼近真实值，估计结果的好坏，与实验拟合的数学模型及采用的处理方法有关系。

参考文献

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