答案?方法?应用

【摘要】数学思维题，答案能提高学生的兴趣，方法是思维拓展的关键和难点，应用则是思维训练的最终目的.

【关键词】数学思维；答案；方法；应用

“是什么、为什么、怎么样”是数学的三种不同层次的要求及题型.笔者认为，小学数学思维拓展题，是什么（答案）能提高学生的思维兴趣，为什么（方法）是思维拓展的关键和难点，怎么样（应用）是思维训练的最终目的.

一、答案

小学数学四年级有这样一道思维拓展题及答案（如图）：

“有A、B、C、D、E共5个队采用单循环的形式比赛，共需进行10场比赛.请画出示意图.”

只有题目就算了，可它偏偏出现了答案！笔者“被答案”了，难免产生一些想法.

很明显，题目本身很不错，可“坏”就“坏”在它奉送的答案上.出现这样的要求及其答案，容易让教师引导学生先通过画图，再经过数数来得出答案.这样看似简单，可意义不大！

面对思维拓展题，有人只知“得数”这个答案，根本不知解答的方法.这样的思维拓展题按只讲答案来要求学生，有何意义，最多能开阔学生的眼界，提高学生的一点点兴趣，决不会培训和提升学生的思维能力.

二、方法

数学思维拓展题的主要目的是训练和拓展学生的思维，答案却是其次.我们教师面对这样的思维拓展题时，不仅要让学生知道是什么（答案），还应该让他们知道为什么（方法），最后，还能得出怎么样（应用）.此题是不是只用画图来列举才能知道怎么做？这里的画图就是画“五星图”吗？

该题是属于“排列、组合”问题，小学数学的“排列、组合”学习流程是：加法原理乘法原理排列组合，这是一个完整的逻辑性强的数学知识体系.因此，该题可用加法原理、乘法原理和“排列、组合”三种方法来解答.画图（表）列举法只是用来帮助学生理解加法原理和乘法原理而已.

方法一：因是单循环赛，所以他们5个队比赛的场次只看图的右上（或左下）部分就行了.完成比赛任务可按A、B、C、D、E分为5类，其中A类有4场、B类有3场、C类有2场、D类有1场、E类有0场.

根据加法原理有4+3+2+1+0=10（场）.

答：共需进行10场比赛.

方法二：我们先来看看双循环赛（整图）.每场比赛需两队，我们用主、客两队来表示.因此，所有的比赛分两步完成：先确定主队、再确定客队.第一步在5个队中选1个队确定为主队，有5种选法（5列）；第二步在除去自己队而剩余的4个队中选1个队确定为客队，有4种选法（每列剩下的4行）.而单循环赛场次恰好是双循环赛的一半（如图）.

所以根据乘法原理有5×（5-1）÷2=10（场）.

答：共需进行10场比赛.

方法三：单循h赛的场次就是从5个队中，取2个队的组合数.

所以用“排列、组合”解答有：

C25=P251P22=（5×4）÷（2×1）=10（场）.

答：共需进行10场比赛.

题目要求用画图来表示，学生很难画出和答案一样的“五星图”，而笔者的“比赛图”因广泛地用在实际的比赛计分中，所以学生更容易想到或理解.两种图有截然不同的作用与效果.编者的“五星图”只是提供数数的依据，并不是解决该问题的方法，对学生的思维训练和拓展可能有阻碍的作用；而笔者的“比赛图”，它能帮助学生正确地理解解决问题的方法，真正起到训练和拓展学生思维的作用.

三、应用

试想，如果题目是：“有10个队采用双循环的形式比赛，共需进行（）场比赛.”能画“十星图”来列举数出答案吗？很明显，列举法只能适用于数量和答案数量比较小的题目.当题目数量比较大时，我们还得采用“排列、组合”法来解答：

10×（10-1）=90（场）或P210=10×9=90（场）.

答：共需进行90场比赛.

怎么样？应用“排列、组合”法能举一反三地解答数学生活中类似的题目吧！因此，我们在选题和引导学生思考时，除了要考虑问题（是什么）的意义，还要体现出它的研究（为什么）和应用（怎么样）价值.