由“书山题海”到“铺路架桥”

在毕业班的复习中，往往存在这样的现象：一遍一遍知识点简单地罗列，抓不住整体和要点；一本一本练习册重复地训练，抓不到解题的规律和方法.这也就是通常所说的“书山题海”战术.如何在复习中改变这种通病，那就是要“铺路架桥”，搭构攻克“书山题海”的天梯和虹桥.

一、构建基础知识与基本技能的整合点

知识的教学一定要注重知识的理解，体会知识间的关联，处理好局部知识与整体知识间的关系.注重知识的结构和体系，体现以知识技能为核心和载体，揭示相应的教学方法和教学思想，做到恰到好处的习题配备.找准知识点，连接知识链，构成知识网，构造整体知识结构以及局部知识结构与全局知识结构的有机结合.

关于“双基”的整合点可分为纵向整合与横向整合.

纵向整合：以平行四边形为例，下面是其整合点的结构图.

横向整合：把初中教材中所学到的角平分线相关知识进行归纳梳理，揭示其表达的性质、定律及其应用.围绕着整体结构，设计网络结构、基础训练、图形简示、经典范例、规律探究等5个版块.列举其中两个示

图1：角平分线上的任一点到角两边距离相等，若∠1=∠2，PEOA，PFOB，则PE=PF；

图2：两平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线成直角，若L1∥L2，∠1=∠2，∠3=∠4，则∠C=90°；

图3：三角形三个内角的平分线的交点是三角形内切圆的圆心；

图4：过三角形的一条角平分线上任意一点作一条边的平行线，能构成等腰三角形，BD平分∠ABC，DE∥BC，则DE=BE；

图5：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、高三线合一；

图6：ABC是等腰三角形.

二、挖掘习题训练的闪亮点

在习题训练中要注意克服以下三点：搞题海战术，盲目做题而不会评价和精选题目；照抄照搬各类复习资料和模拟题，缺少独立思考，缺少自己的创编性题目；一套一套地做试卷，简单地对对答案或不了了之，缺少必要地反思和补救，因此训练效果低.为此对训练的内容要重组加工，起到以一当十的作用.

1.如图7，ACBC，BDAD，AC=BD，求证BC=AD.

2.如图8，从C地看A、B两地的视角∠C是锐角，从C地到A、B两地的距离相等.A到路段BC的距离AD与B到路段AC的距离BE相等吗？为什么？

3.如图9，ACBC，BDCB，AB=CD，求证∠ABD=ACD.

4.如图10，在ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE、DF分别垂直AB、AC，垂足为E、F.求证EB=FC.

5.如图10，在ABC中，D是BC的中点，DEAB，DFAC，垂足分别是E、F，BE=CF.求证AD是ABC的角平分线.

6.如图11，CD=CA，∠1=∠2，EC=BC.求证DE=AB.

7.如图12，海岸上有A、B两个观测点，点B在点 A的正东方，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B的正北方，从观测点A看海岛C、D的视角∠CAD与从观测点B看海岛C、D的视角∠CBD相等.那么海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等.为什么？

8.如图13，D、E分别为AB、AC的中点，CDAB于D，BEAC于E.求证：AC=AB.

9.如图14，AD=BC，AC=BD，那么EAB是等腰三角形吗？

以上九道题分散在“全等三角形”各类习题中.其实，这九道题可以看做一道题，它是图形由特殊到一般，由静止到运动（平移、翻折、旋转）的变化.

例如：（人教版八年级下第二十章四边形中复习题15题）如图15，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角平分线CG于点F.求证：AE=EF.

此题的闪亮点在于：a.习题所处地位的重要；b.习题知识背景深厚，涉及正方形的相关知识（边长，对角线，直角，45°角），此题又有内角分线和外角分线问题；c.习题的难度较大，有探究挖掘的价值和空间；d.此题是证明全等类习题，涉及到“截长补短”的重要证明方法，具有多种证法；e.此题还涉及到线段之间的数量关系，可以演变成中考的第28题；f.此题既有闪亮点又有拓展点，具备变化的空间.因此，为很好的发挥这道题的作用，可进行如下处理：

变式1―――变动态几何

四边形ABCD是正方形，点E是直线BC上一点，∠AEF=90°，EF交正方形外角平分线CG所在直线于点F.探究：AE与EF的数量关系.

解析：解决此类问题要抓住几个关键字，看是否需要分类讨论.此题应就点E的位置分三类讨论，解题思路可以仿照教材例题，做出适当的辅助线构造等腰直角三角形，证明三角形全等.

变式2―――点不动，图动

四边形ABCD是矩形，点E是边BC的中点，连接AE，∠AEF=90°，EF交矩形外角平分线CG于点于F.

（1）如图16，当AB=BC时，求证AE=EF；

（2）如图17，当AB=2BC时，探究AE与EF的数量关系.

（3）当AB=n・BC（n≥1）时，AE=EF.（用含n的式子填空）

解析：解决此类问题，必须明晰在特殊图形中解决问题的思路，一般情况下，变式图形与特殊图形中解决问题的思路相仿，只是在特殊图形中隐藏的全等三角形在变式图形中可能变为相似.此题第二问解题思路可以仿照第一问，即做出适当的辅助线，构造等腰直角三角形，证明三角形相似.

变式3―――藏于图形之中的此形

在正方形AMNC中，对角线交于点B，点E为对角线MC上的动点（但与M、C两点不重合）.连接EA，作EFEA交直线CN于点F，连接AF.

（1）如图18，当点E在MB上时，求证EA=EF；

（2）当点E在BC上时，判定AEF的形状并证明你的结论.

解析：解决此类问题，首先要看透图形，淡化一些线，再强化一些线，找出熟悉的基本图形，不难看出此变式等同于变式1，所以解题思路及辅助线的做法均可参看变式1.

变式4.动态几何的本质―――形变质不变

如图19，教材中建议做辅助线“在AB边上取点K，使BK=BE”，在此基础之上挖掘此图形的本质.若想在此图形中有AKE≌ECF，所需条件有三个，即∠AKE=∠ECF，AK=KE，∠KAE=∠CEF.

（1）证∠AKE=∠ECF，则需证明∠BKE=∠FCH，所以必须有∠B=∠BCD作为前提；

（2）证AK=EC，则需证明AK+BK=CE+BE，所以必须有BA=BC作为前提；

（3）证∠AKE=∠ECF，借助于∠B+∠KAE=∠AEC=∠AEF+∠CEF，所以必须有∠B=∠AEF作为前提，联系（1）此时会出现∠B=∠AEF=∠BCD，即M形的出现.综上，题目中给出的已知“四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°”的本质是：BA=BC，∠B=∠AEF=∠BCD.据此可作如下变化：

：以等边三角形作为背景图形.如图20，在等边三角形ABC中，点E

为BC边上唯一一点，∠AEF=60°，EF交三角形外角平分线CG于F.求证：AE=EF.

：以等腰梯形作为背景图形.如图21，在等腰梯形ABCD中，AB=DC=AD，∠B=60°，EF交等腰梯形外角平分线CG于F.求证：EF=4AE.

上述试题改编尊重教材，以图形与变换为主，这也是“新课标”明确规定的重要内容之一，有利于培养学生的实践与操作能力，形成空间概念和运动变化的意识.围绕这一知识点，可以设计许多变化无穷、精彩纷呈、形式新颖的好题.图形与变换不但是初中数学教材中一道亮丽的风景线，更是中考压轴题中的新宠.

一题多解，无疑是激发学生进行“联想、猜想”的重要手段，是培养学生发散性思维常用而有效的方法。遵循发散性思维的规律，遵循学生的认识规律，是在学生形成理性认识基础上的第二次实践活动，是课堂教学的一次重要反馈.

例如：如图22，已知正方形ABCD，E在BC的延长线上，CF平分∠DCE，P为射线BC上一点，Q是CF上一点，连接AP、PQ.

（1）若APPQ，试说明AP=PQ.

（2）若AP=PQ，试说明APPQ.

证法一：如图23，在AB上取一点G，使 BG=BP，易证BGP为等腰直角三角形，这就为我们证明APG≌PQC提供了两个条件.再通过90°角可以导出全等所需的第三个条件∠APG=∠QPC.从而，得出AP=PQ.

证法二：如图24，连接AC，过P作PHBC，交AC于H，易证PCH为等腰直角三角形，这就为我们证明APH≌PQC提供了两个条件.再通过90°角可以导出全等所需的第三个条件∠APH=∠QPC.从而，得出AP=PQ.

此两种方法均可看作是通过构造等腰直角三角形的手段来达到构造全等三角形的目的.

证法三：如图25，延长AB、QC相交于点K，连接PK.由∠-QCE=45°可证得BC=BK=AB，从而易证ABP≌KBP，达到将AP转移到PK的目的.再通过∠1+∠2=45°，∠3+∠4=45°，∠1=∠4证明PK=PQ，进而AP=PQ解决问题.

证法四：如图26，在AC的延长线上，取一点L，使CL=QC.连接PL，通过辅助线的连接，结合∠QCE=∠LCE=45°易证PCQ≌PCL，达到将PQ转移到PL的目的.再通过∠1+∠2=45°，∠3+∠4=45°，∠1=∠5=∠4说明PL=PQ，进而AP=PQ解决问题.

此两种方法均可看做通过构造全等，达到翻折的效果，进而形成等腰三角形.

证法五：如图27，作QM射线BC于点M.此时，看似ABP≌PMQ，但是在证明时却缺少条件，需要结合相似三角形和方程的思想解决问题.设BP为a，PC为b，CM为c；由ABP∽PMQ可得AB：BP=PM：QM，即a+b＼a=b+c＼c，化简可得a=c，从而说明ABP≌PMQ，AP=PQ.

此题的证明方法还有很多，比如证明A、P、C、Q四点共圆等.

如图28，在平面直角坐标系中，直线y=-1

2

x+5交x轴于点A，交y轴于点B，交直线y=x-1于点C，第一象限内的点D在直线y=x-1上，且ACD的面积等于27，点E为线段AD上的点，且tan∠DCE=1 2.点P从原点O出发，沿OA向点A匀速运动，同

时，点Q从点B出发沿BO向原点O匀速运动，并同时到达终点，设Q点移动的路程为m.

（1）求点E的坐标；

（2）在移动过程中，是否存在实数m，使得PQD为直角三角形.若存在，求m的值，若不存在，说明理由；点的四边形是平行四边形，求R的坐标；

（4）设直线y=x-1交y轴于点F，交PQ于点N，在移动过程中，是否存在实数m，使得QFN与BFC相似，若存在，求m的

（6）点G、H分别是y轴、直线AB上的动点，在（5）的条件下，当m=4时，由点G、H、P、K能否构成等腰梯形？若能，求出点G、H的坐标；若不能，说明理由；

（7）设直线CD交y轴于点M，在P、Q运动过程中，是否存在m的值，使得PQM中有一个角等于∠BAO？若存在，求m的值，若不存在，说明理由；

（8）延长DC交x轴于点M，动点P在射线MA上运动，过P点作PQDM，交y轴于点N，过N作x轴平行线交射线MD于F，设P点运动速度是1，时间是t，CF长为y，求y与t的函数关系，并直接写出自变量取值范围； 0），求此时折痕所在直线的函数解析式；

（10）将BCN绕点C分别旋转45°或60°，得到N1CB1，此时过N1，半径为4的圆与直线CM的位置关系.

求函数解析式是初中数学中非常重要的内容.我们把各种几何图形作为背景，求解析式，以平移、翻折、旋转等运动问题为载体，求相应的问题，构建了一组串联型训练题目.

（作者单位：赵守文哈尔滨市教育研究院杨俊杰马红艳哈尔滨市龙涤新世纪学校）