导数在中学数学中的应用

【摘要】导数是高中新增的教学内容，也是高中数学的基础知识，导数应用广泛。高中数学导数的应用主要体现在研究函数单调性，求函数的极值、最值以及利用导数求曲线的切线方程等方面。

【关键词】导数 切线方程 单调性 最值 极值 不等式

导数是数学分析课程中基本概念之一，它反映了函数的变化率，它的引出和定义始终贯穿着函数思想。近年来由于课改的的需要，将这一高等数学的内容扩充到中学数学选修部分，而且在近年来的高考中导数内容的比重逐年加大。由于其应用的广泛性，为我们解决所学过的有关函数问题，求曲线的切线问题提供了一般性方法，运用它可以简捷地解决一些实际问题。导数的应用主要体现在求曲线的切线方程、判断函数的单调性、求函数的极值、最值以及证明不等式等问题，下面举例谈谈运用导数的知识解决这些问题。

一、利用导数求曲线的切线方程

函数f(x)在点x0处导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，也就是说，曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率是f′（x0）。于是相应的切线方程是y一y0= f′（x0）（x一x0）。解决这类问题的关键是求切点和斜率。

（一） 已知过切点，求切线方程

分析：此类问题较简单，求出斜率f′（x0）带入点斜式方程就可以了。

例如：已知曲线f（x）=x3-3x2+1，过点（1,1）作切线，求切线方程。

解:由f′(x)=3x2-6x得k= f′(1)=-3，故所求切线方程为y-1=-3（x-1）即y=-3x+2

（二）已知过曲线外一点，求切线方程

分析：此类问题先判断点是否在曲线上，点在曲线上可用（一）法求解，若点不在曲线上应先设切点，再求切点。

例如：求过点A（1,0）且与曲线y=1x 相切的直线方程。

解：因为点A（1,0）不在曲线上，故设切点为P（x0，y0）则斜率k=y′|x=x0=-1x02

所以切线方程为y-y0=- 1x02 （x-x0）即y- 1x0=-1x02 （x-x0）

又已知切线过点（1,0）所以有0- 1x0=- =-1x02 （1-x0）

解得x0=12 所以y0=2，k=-4切线方程为y-2=-4（x-12)即4x+y-4=0

二、利用导数判断函数的单调性

利用导数判断函数单调性的步骤是：（1）确定函数的定义域；（2）求导数f′（x）；（3）在函数定义域内解不等式f′（x）>0和f′（x）

例如：已知aR，求函数f（x）=x2eax的单调区间

解：f′（x）=2xeax+ax2eax=（2x+a x2）eax

（1）当a=0时，若x0

所以当a=0时，函数f（x）在区间（-∞，0）内是减函数，在区间（0，+∞）内是增函数 （2）当a>0时，由2x+a x2>0解得x0；由2x+a x2

所以当a>0时，函数f（x）在区间（- ∞，-2a ）内是增函数，在区间（-2a ，0）内是减函数，在区间（0，+∞）内是增函数；

（3）当a0,解得0

所以当a

三、利用导数求函数的极值

求可导函数极值的步骤是：（1）确定函数的定义域，求导数f′（x）；

（2）求f′（x）=0的所有实数根；（3）对每个实数根进行检验，检查f′（x）在方程f′（x）=0的根的左右两侧的值的符号，如果f′（x）的符号左正右负，则函数f（x）在这个根处取得极大值；如果f′（x）的符号左负右正，则函数f（x）在这个根处取得极小值；需要注意的是，如果f′（x）=0的根的左右两侧符号不变，则在这个根处的函数值不是函数的极值。

例如：求函数f（x）=x3-27x的极值

解：f′（x）=3x2-27=3（x+3）（x-3）令f′（x）=0得x=-3或x=3

当x变化时，y′、y的变化情况如下表：

由此可以看出：当x=-3时，函数f（x）有极大值f（-3）=54，当x=3时，函数f（x）有极小值f（3）=-54

四、利用导数求函数的最值

求可导函数最大（小）值的步骤是：（1）求函数的导数f′（x），解方程果f′（x）=0，

求出极值点；（2）比较函数在区间端点处的函数值和函数在极值点处的函数值的大小，确定最大者是最大值，最小者是最小值。在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较。

例如：求函数f（x）=-x4+2x2+3，X ［-3，2］的最大值和最小值

解：由f′（x）=-4x3+4x令f′（x）=0即-4x3+4x=0

解得x=-1，或x=0或x=1

又f（-3）=-60，f（-1）=4，f（0）=3，f（1）=4，f（2）=-5

所以，当x=-3时，函数f（x）有最小值-60

当x= 1时，函数f（x）有最大值4

五、利用导数证明不等式

利用导数证明不等式是近年高考中出现的一种热点题型．其方法可以归纳为“构造函数，利用导数研究函数的单调性，再利用函数单调性和常用的证明不等式的方法证明不等关系”．

例如：已知x>2,求证x-1>lnX

证明：构造函数f（x）=x-1-lnx（x>2）则f′（x）=1-1x =x-1x

x>2 f′（x）>0 函数f（x）在（2，+∞）内是增函数

当x>2时，f（x）=x-1-lnx>f(2)=1-ln2>1-lne=0

f（x）>0即x-1-lnx>0 x-1>lnx(x>2)

总之，导数作为一种工具，在解决数学问题时使用非常方便，尤其是利用导数来研究简单的高次函数和简单超越函数的单调性，极值，最值问题时，把复杂问题变得简单化。在导数的应用过程中，要加强对基础知识的理解和运用，能对简单的初等函数进行求导是导数应用的基础，而解决各类问题的一般方法则是导数应用的关键。重视数学思想方法的应用，达到优化解题思维，简化解题过程的目的，更在于使学生掌握一种科学的语言和工具，进一步加深对函数的深刻理解和直观认识．