准变量思维:赋予学生代数思维生长的力量

【摘 要】准变量思维作为算术思维和代数思维之间的中介，是学生的数学思维从算术思维发展到代数思维的桥梁和纽带，能促进算术学习与代数学习的有效联结。在数学课堂中，教师应充分挖掘算术中的代数特性，精心呵护与扶植学生的准变量思维。

【关键词】准变量思维 算术思维 代数思维

一、意蕴解读：学生准变量思维培养的内涵诠释

算术思维是数的运算，是一种程序性思维；代数思维是式的运算，是一种关系性思维。小学数学倾向于算术和程序思维，初中数学倾向于代数和关系思维，从算术思维到代数思维的跨越是学生学习数学必须经历的一个极为重要的阶段。

准变量思维作为学生算术程序思维的最近发展区，它的对象主要是准变量（表达式）及其代数关系与结构的非符号化陈述，核心是超越算术的思维方式，充分利用算术中所隐含的代数关系与结构，识别、提取出关键的数字和包含在表达式中的关系性元素，对潜在的结构进行表达和转换，对算术及其问题进行“代数地思考”。对学生准变量思维培养的研究将有助于缓解算术思维与代数思维之间的割裂状态，促进中小学数学的顺利衔接，降低学生学习代数的困难。同时，学生在运用准变量思维解决不同的算术问题时，其间隐含的等价观念、抵消意识、建模思想、概括思想、变化与函数的思想等，有利于学生的代数思维的发展，能为他们的后续学习建构起强有力的桥梁。

二、实践滋养：引领学生发展准变量思维的教学寻绎

（一）基于教材——挖掘算术中的准变量思维因子

在教学中，教师要习惯于“代数地思考”算术及其问题，敏锐地挖掘可以培养学生的准变量思维的素材，根据具体的教学内容进行适当的铺垫和渗透。

一年级学生在计算“9+4”时，一般采用“凑十法”：4由一个1和一个3组成，1和9相加和是10，所以“9+4=13”。这时教师可做恰当的渗透，引导学生关注关系与结构：无论9加几，都应该先加1，使其构成一个10，然后在后面的加数中减去1，加的1与减去的1刚好抵消，结果与原来相等，即“（9+1）+（4-1）=9+4”，隐含的代数关系和结构是“一个加数加1，另一个加数减1，和不变”。

（二）立足学生——找寻学生准变量思维真实的起点

教师要遵循学生数学思维发展的规律，充分把握学生的认知基础和潜在困难，制订出培养学生准变量思维的具体要求和合理目标，既不能用准变量思维代替算术思维，也不能用代数思维来取代准变量思维。

看到算式“6+4”时，学生往往会条件反射般地写上等号，这个等号被理解成执行加法运算的标志。我们针对学生在等号方面出现的问题进行了访谈，对学生眼中的等号有了更深的了解。在学生眼中，等号用来显示“做某件事的信号”，是表示一个计算的过程，具有程序意义；等号代表运算结果“得到”，是分隔符号；等号的左边是运算的式子，右边是答案；等等。可见，学生比较关注等号的“程序性质”，而忽视了等号的“关系性质”。我们可以有意识地让学生构造这样一些等式：先是两边都有一个运算的，如“4+3=6+1”；接着是两边都有两个运算的，如“5+2-3=6+3-5”；随后是两边都有三个运算的，如“8×2-2+1=5×4+1-6”，帮助学生识别出算式中隐含的结构关系，做出清晰的关系性解释。

（三）引领学生——让准变量思维向着深刻的方向生长

1.巧设拓展延伸点，层层推动，孕育学生的准变量思维。

要促进学生代数思维的形成，早期准变量思想的渗透与孕育势在必行，这就需要教师在学生学习方程之前，提早设计一些好的问题进行拓展延伸。

在解决“25+=26+76”这样的题目时，有些学生倾向于选择计算方法解决，为了推动学生从关系与结构的角度进行思考，我及时进行了拓展：“15+（空格A）=17+（空格B）”，（1）你能在空格A和空格B中填入适当的数字，使等式成立么？（2）当等式成立时，空格A和空格B中的数字之间应满足什么关系？（3）如果用28代替15，33代替17，空格A和空格B中的数字之间又会有什么关系？这样的拓展可以推动学生关注算式中存在的关系与结构：只要空格A中的数字比空格B中的数字多2（或多5），上面的式子就一定成立，学生的准变量思维得以萌发。

2.捕捉意外生成点，借题发挥，催生学生的准变量思维。

在算术教学中，教师要敏于捕捉学生学习过程中的意外，善于利用课堂中生成的资源，催生学生的准变量思维。

在《用计算器进行计算》一课的教学中，我让学生用计算器计算“656-362”，很多学生迅速得出了结果。这时，一个学生小声嘀咕：“老师，我的计算器键6失灵了，怎么办？”我适时将问题反抛给大家：“当键6坏了时，我们如何计算‘656-362’呢？”一学生答道：“656-362=545+111-352-10。”我进一步启发：“还可以怎么计算更简单？”学生顺利地想到“656-362=545-251”“656-362=878-584”等。至此，学生已经关注到了代数关系与结构“a-b=（a-c）-（b-c）”或“a-b=（a+c）-（b+c）”，反映了学生对数字运算中代数性质的关注，蕴含着学生对数字的关系和结构的解释，小小的意外催生了学生的准变量思维。

3.挖掘思维生长点，拾级而上，培植学生的准变量思维。

在解答算术题时，教师要找到其中的一些生长点，为学生提供充足的代数推理的机会，使学生浸润于相当丰富的代数思维之中。

有这样一道找规律题：6个人下棋，要求每2个人之间都要下一盘棋，这6个人一共要下多少盘棋？我发现这道题是培养学生的代数推理能力的极好机会，于是分三步展开了教学：（1）直观感知，通过具体情境记录数据。2人下1盘棋，3人下3盘棋，4人下6盘棋，5人下10盘棋，6人下15盘棋，这显然是程序思维。（2）引入关系思维，通过直观的方式列出一些算式，引导他们进行代数思维。2人下棋盘数是1，3人下棋盘数是“2+1”，4人下棋盘数是“3+2+1”，5人下棋盘数是“4+3+2+1”，6人下棋盘数是“5+4+3+2+1”，如果有10个人，那么下棋的总盘数是多少呢（只列式）？这一提问为学生提供了破译内在关系、表达潜在结构的机会。（3）强化关系思维，通过推理寻求答案。如果下棋总盘数是“12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1”，总共有多少人下棋？尽管我不要求学生给出一般化的结论：n×（n-1）÷2，学生还是很好地发现了下棋人数与盘数间的内在关系，进而能利用这一关系进行合理推理，他们的准变量思维得到了很好的培养。

总之，算术思维是小学生认知发展的现有水平，代数思维是小学生认知发展的可能水平。只要我们顺应学生思维的发展需要，关注学生准变量思维的培养，循着算术程序思维到代数关系思维这一真实的轨迹进行，相信它的生长是惊人的。■

【参考文献】

[1]徐文彬.试论算术中的代数思维：准变量表达式[J].学科教育，2003（11）：6-10，24.

[2]Max Stephens，王旭.关系性思维中的一些重要关联——对中国和澳大利亚6～7年级学生进行的调查研究[J].数学教育学报，2008（5）：36-40.

注：本文获2013年江苏省“教海探航”征文特等奖

（作者单位：江苏省江阴市徐霞客实验小学）